Question

11．如图，已知菱形ABCD中，对角线AC=12，BD=16，点E、F分别为边BC、CD的中点，点P对角线BD上一动点，则PE+PF的最小值为（　　）

• A． 10
• B． 12
• C． 14
• D． 16

Answer 1

分析 取AD的中点F′，由菱形的性质可知点F′和F关于BD对称，故此PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，PE+PF有最小值，然后求得EF′的长度即可．

解答 解：取AD的中点F′，连接EF′交BD于点P．

∵四边形ABCD为菱形，
∴AP⊥PB，PA=$\frac{1}{2}AC$，PB=$\frac{1}{2}BD$．
在Rt△ABP中，AB=$\sqrt{A{P}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∵ABCD为菱形，E、F′分别是AD、CD的中点，
∴PF=PF′．
∴PE+PF=PE+PF′．
两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，PE+PF的最小值．
∵EF=AB，
∴PE+PF的最小值为10．
故选：A．

点评 本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题、勾股定理的应用，明确当E、P、F′在一条直线上时PE+PF有最小值是解题的关键．