Question

【题目】已知如图，∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝45°，结论：①∠ABC＝90°，②AB＝BC，③AD2+DC2＝2AB2，④AD+DC＝BD，其中正确的有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

如图，作BM⊥DA交DA的延长线于M，BN⊥CD于N，AC交BD于点O．首先证明△ABC是等腰直角三角形，再证明四边形BMDN是正方形，△BMA≌△BNC即可解决问题；

解：如图，作BM⊥DA交DA的延长线于M，BN⊥CD于N，AC交BD于点O．

∵∠OAB＝∠ODC，∠AOB＝∠DOC，

∴△AOB∽△DOC，

∴，

∴，

∵∠AOD＝∠BOC，

∴△AOD∽△BOC，

∴∠BCO＝∠ADO＝45°，

∴∠BAC＝∠BCA＝45°，

∴∠ABC＝90°，BA＝BC，故①②正确，

∴AD2+CD2＝AC2＝AB2+BC2＝2AB2，故③正确，

∵∠M＝∠BND＝∠MDN＝90°，

∴四边形BMDN是矩形，

∵BD平分∠ADC，BM⊥AD，BN⊥DC，

∴BM＝BN，

∴四边形BMDN是正方形，

∴DM＝DN，

∵AB＝BC，BM＝BN，

∴Rt△BMA≌Rt△BNC（HL），

∴AM＝AN，

∴AD+DC＝DM﹣AM+DN﹣CN＝2DM＝BD，故④正确，

故选：D．