Question

【题目】如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）OA，OB分别交⊙O于点D，E，AO的延长线交⊙O于点F，若AB＝4AD，求sin∠CFE的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据等腰三角形性质得出OC⊥AB，根据切线的判定得出即可；

（2）连接OC、DC，证△ADC∽△ACF，求出AF=4x，CF=2DC，根据勾股定理求出DC=x，DF=3x，解直角三角形求出sin∠AFC，即可求出答案．

（1）证明：连接OC，如图1，

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC⊥AB，

∵OC过O，

∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：连接OC、DC，如图2，

∵AB＝4AD，

∴设AD＝x，则AB＝4x，AC＝BC＝2x，

∵DF为直径，

∴∠DCF＝90°，

∵OC⊥AB，

∴∠ACO＝∠DCF＝90°，

∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO，

∵OF＝OC，

∴∠AFC＝∠OCF，

∴∠ACD＝∠AFC，

∵∠A＝∠A，

∴△ADC∽△ACF，

∴，

∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC，

∵AD＝x，

∴DF＝4x﹣x＝3x，

在Rt△DCF中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，

解得：DC＝x，

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴∠AOC＝∠BOC，

∴，

∴∠CFE＝∠AFC，

∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝＝．