Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；（2）P（，）；（3）抛物线平移的距离为．

【解析】

（1）由抛物线的对称性质得到点B的坐标，把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出方程组，通过解方程组求得系数的值；根据抛物线解析式求得顶点坐标；

（2）过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，构造矩形COMN和直角三角形，利用锐角三角函数的定义求得 ，故设PM=a，MC=3a，PN=3-a．易得P（3a，3-a），由二次函数图象上点的坐标特征列出关于a的方程，通过解方程求得a的值，易得点P的坐标；

（3）设抛物线平移的距离为m，得y=（x-2）2-1-m．从而求得D（2，-1-m）．过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F．易推知∠EOD=∠QDF，则tan∠EOD=tan∠QDF，根据锐角三角函数定义列出关于m的方程，通过解方程求得m的值．

解：（1）∵对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），

∴点B的坐标是（3，0）．

将A（1，0），B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c，得

．

解得．

则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．

由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1知，该抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；

（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，

∵∠CON＝90°，

∴四边形CONM是矩形．

∴∠CMN＝90°，CO＝MN、

∴y＝x2﹣4x+3，

∴C（0，3）．

∵B（3，0），

∴OB＝OC＝3．

∵∠COB＝90°，

∴∠OCB＝∠BCM＝45°．

又∵∠ACB＝∠PCB，

∴∠OCB﹣∠ACB＝∠BCM﹣∠PCB，即∠OCA＝∠PCM．

∴tan∠OCA＝=tan∠PCM．

∴．

故设PM＝a，MC＝3a，PN＝3﹣a．

∴P（3a，3﹣a），

将其代入抛物线解析式y＝x2﹣4x+3，得（3a）2﹣4（3﹣a）+3＝3﹣a．

解得a1＝，a2＝0（舍去）．

∴P（，）．

（3）设抛物线平移的距离为m，得y＝（x﹣2）2﹣1﹣m．

∴D（2，﹣1﹣m）．

如图2，过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F，

∵∠OED＝∠QFD＝∠ODQ＝90°，

∴∠EOD+∠ODE＝90°，∠ODE+∠QDP＝90°．

∴∠EOD＝∠QDF．

∴tan∠EOD＝tan∠QDF，

∴．

∴．

解得m＝．

故抛物线平移的距离为．