Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0），点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AB上的点，直线EM⊥x轴，设点E的横坐标为t．

①当t＝6时（如图1），点P为x轴下方抛物线上的一点，若∠COP＝∠DBM，求此时点P的横坐标；

②当2＜t＜6时（如图2），直线EM与线段BC，BD和抛物线分别相交于点F，G，H，试证明线段EF，FG，GH总能组成等腰三角形，如果此等腰三角形底角的余弦值为，求此等腰三角形的面积．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2﹣2x﹣6；(2)①点P的横坐标为2，②．

【解析】

（1）根据抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0），利用交点式可确定抛物线解析式；
（2）①过点D作DN⊥BM于N，过点P作PK⊥y轴于K，先求tan∠DBN，再根据题意∠COP=∠DBM，即tan∠COP=tan∠DBN，可求点P的横坐标；
②待定系数法求得：直线BC的解析式为y=x-6，直线BD的解析式为y=2x-12，表示出F，G，H的坐标，即可证明：线段EF，FG，GH总能组成等腰三角形，再计算由线段EF，FG，GH组成等腰三角形的面积．

解：（1）根据抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0），

设抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣6），

即y＝x2﹣2x﹣6；

（2）①如图1，过点D作DN⊥BM于N，过点P作PK⊥y轴于K，

则∠BND＝∠OCP＝90°

∵y＝（x﹣2）2﹣8

∴D（2，﹣8），B（6，0），N（6，﹣8），

∴tan∠DBN＝＝＝，

∵∠COP＝∠DBM，

∴tan∠COP＝tan∠DBN＝，

设P（m，﹣2m﹣6），则KP＝m，OK＝﹣（﹣2m﹣6）

∴，解得：m1＝﹣2（不符合题意，舍去），m2＝2，

∴点P的横坐标为2，

②如图2，∵B（6，0），C（0，﹣6），D（2，﹣8），

∴直线BC的解析式为y＝x﹣6，直线BD的解析式为y＝2x﹣12，

∵E（t，0），

∴F（t，t﹣6），G（t，2t﹣12），H（t，﹣2t﹣6）

∴EF＝6﹣t，FG＝t﹣6﹣（2t﹣12）＝6﹣t，GH＝2t﹣12﹣（﹣2t﹣6）＝﹣+4t﹣6，

∴EF＝FG

∵EF+FG＝12﹣2t，EF+FG﹣GH＝12﹣2t﹣（﹣+4t﹣6）＝﹣6t+18＝，

∴当2＜t＜6时，＞0，即EF+FG＞GH

∴线段EF，FG，GH总能组成等腰三角形，

如图3，△RTS中，设RT＝RS＝6﹣t，TS＝﹣+4t﹣6，作RL⊥TS于L，则∠RLT＝90°

∵RT＝RS，RL⊥TS

∴TL＝TS＝﹣+2t﹣3

依题意有cos∠RTS＝，即＝

∴2（6﹣t）＝3（﹣+2t﹣3），解得：t1＝6（不符合题意，舍去），t2＝ ，

∴TL＝，TS＝，RT＝

∴RL＝

∴S△RTS＝TSRL＝××＝．

∴线段EF，FG，GH组成的等腰三角形的面积为：．