Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=，⑤S△DOC=S四边形EOFB中，正确的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=DF正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．

详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．

∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．

在△EBC和△FCD中，，

∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，

∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；

连接DE，如图所示，若OC=OE．

∵DF⊥EC，∴CD=DE．

∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；

∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC==，故④正确；

∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故⑤正确；

故正确的有：①③④⑤．

故选D．