Question

【题目】如图，边长为 2 的正方形 OABC 顶点 O 与坐标原点 O 重合，边 OA、OC 分别与 x、y 正半轴重合， 在 x 轴上取点 P（﹣2，0），将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 a°（0°＜a＜180°），得到正方形 OA′B′C′，在旋转过程中，使得以 P，A′，B′为顶点的三角形是等腰三角形时，点 A′的坐标是_______．

Answer 1

【答案】（，1）或（0，2）或（1，）或（，1）

【解析】

分四种情形：①当PB′＝PA′时，②当A′与C重合时，③当PA′＝A′B′时，④当PA′＝PB′时，分别画出图形求解即可得到A′的坐标.

解：有四种情况：

①如图1中，当PB′＝PA′时，连接PC′．易证△POC′是等边三角形，

∴∠POA′＝150°，∠A′OA＝30°，

∵OA′＝2，

∴A′（，1）；

②如图2中，当A′与C重合时，△PA′B′是等腰三角形，此时A′（0，2）；

③如图3中，当PA′＝A′B′时，△A′OP是等边三角形，

∴∠A′OP＝60°，

∴A′（1，）；

④如图4中，当PA′＝PB′时，易证△POC′是等边三角形，

∴∠POC′＝60°，

∵∠A′OC′＝90°，

∴∠A′OP＝30°，

∵OA′＝2，

∴A′（，1），

综上所述，满足条件的点A′坐标为（，1）或（0，2）或（1，）或（，1）．

故答案为：（，1）或（0，2）或（1，）或（，1）．