Question

【题目】如图，是的直径，点在上，点是弧的中点，交于点，点是延长线上一点，连接，且．

（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；

（2）若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

（1）连接OC，根据等边对等角可得∠A=∠ACO，再根据∠PCB=∠A，可得∠ACO=∠PCB，再根据AB是⊙O的直径，即可推出∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，得证PC是⊙O的切线；

（2）连接OM，通过证明△BMC∽△NMB，可得，代入求得OB=2，从而根据弧长公式求得的长．

解：（1）直线PC与⊙O相切，理由是：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO.

∵∠PCB=∠A，

∴∠ACO=∠PCB.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO+∠OCB=90°.

∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP.

∴PC是⊙O的切线

（2）连接OM，由点M是弧AB的中点，，得∠BOM=90°

∴∠ABM=∠BCM

∵∠BMC=∠BMN，

∴△BMC∽△NMB

∴，

∴.

∵MCMN=8，

∴BM=，求得OB=2，

从而求得的长为