Question

【题目】已知：如图，四边形，，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿边匀速运动，运动速度为．点和点同时出发，为四边形的对角线的交点，连接并延长交于，连接．设运动的时间为，．

（1）当为何值时，？

（2）设五边形的面积为，求与之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使的面积等于五边形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由详见解析；（4）存在，，．

【解析】

（1）如下图，根据Rt△ADH求得AD的长，在利用QP∥DB得到t的值；

（2）先利用，得到AP、BP、DM，然后用割补法求面积；

（3）假设存在，使得的面积等于五边形面积的，验证t的值是否在取值范围内；

（4）如下图，分别在Rt△EMQ和Rt△QFP中求得QM和QP的长，令它们相等求得t.

（1）如下图，过点D作AB的垂线交AB于点H

∵DC=8，AB=16，CB=6，∴AH=8，DH=6

∴在Rt△DHA中，

设则

∴

∵QP∥DB

，即

解得：．

（2）∵DC∥AB

∴∠ABO=∠CDO，∠OAB=∠DCO

∴

∴

∵，∴

∴四

．

（3）∵四

又∵的面积等于五边形面积的

∴四，即：

解得：，

，不存在．

（4）如下图，延长CD，过点Q作AB的垂线，交CD于点E，AB与点F

∵∠QAF=QDE，∠AHD=∠QED

∴△AHD∽△DEQ

同理，△ADH∽△AQF

∵AD=10，AH=8

又∵QD=t

∴EQ=，ED=

∵AQ=10－t

∴AF=，FQ=

∴QM=

QP=

∵点Q是MP的垂直平分线，∴QM=QP，即：

化简得：

解得：，．