Question

【题目】如图，在ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是_____（把所有正确结论的序号部填在横线上）．①∠AEF＝∠DFE；②S△BEC＝2S△CEF；③EF＝CF；④∠BCD＝2∠DCF．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

延长EF，交CD延长线于M，根据题意通过“角边角”证明△AEF≌△DMF，得到EF＝MF，∠AEF＝∠M，在Rt△CEM中根据斜边上的中线等于斜边的一半可得CF＝EM＝EF，故③正确；易得S△EFC＝S△CFM，因为MC＞BE，所以S△BEC≤2S△EFC故②错误；设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，整理可得∠EFD＝270°﹣3x，而∠AEF＝90°﹣x，故可得①正确；根据平行四边形与平行线的性质可证④正确.

解：延长EF，交CD延长线于M，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A＝∠MDF，

∵F为AD中点，

∴AF＝FD，

在△AEF和△DFM中，

，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴EF＝MF，∠AEF＝∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC＝90°，

∴∠AEC＝∠ECD＝90°，

∵FM＝EF，

∴CF＝EM＝EF，故③正确；

∵EF＝FM，

∴S△EFC＝S△CFM，

∵MC＞BE，

∴S△BEC≤2S△EFC

故②S△BEC＝2S△CEF错误；

设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，

∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，

∴∠EFC＝180°﹣2x，

∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，

∵∠AEF＝90°﹣x，

∴∠DFE＝3∠AEF，

∴∠AEF＝∠DFE，①正确；

∵F是AD的中点，

∴AF＝FD，

∵在ABCD中，AD＝2AB，

∴AF＝FD＝CD，

∴∠DFC＝∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC＝∠FCB，

∴∠DCF＝∠BCF，

∴2∠DCF＝∠BCD，④正确.

故答案为：①③④．