Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，以CD为直径作⊙O分别交AC，BC于点E，F，过点E作⊙O的切线，分别交直线BC，AB于点H，G．

（1）求证：HG=GB；

（2）若⊙O的直径为4，连接OG，交⊙O于点M．填空：

①连接OE，ME，DM．当EG=____时，四边形OEMD为菱形；

②连接OE．当EG=_________时，四边形OEAG为平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②2

【解析】

（1）如图连接，由相切及可得，由，可得，由于是斜边上的高，可得，即可得：;

(2) ①连接ED，可得OC=OE=OM=OD=2,假设四边形OEMD是菱形，则OE=EM,可得△OEM是等边三角形,故∠EOG=60°，可证∠EGO=30°故OG=2EO==4,利用勾股定理可得： 进行计算即可；

②连接OE,当,四边形OEAG为平行四边形， 由O为直径CD的中点，，可得E为直径AC的中点，G为直径AD的中点，故EG是△ACD的中位线，即可得出答案．

（1）证明：如图连接．

∵与相切，

∴，

∴

∵，

∴，

，

∴

∵，

∴，

∵是斜边上的高，

∴

∵

∴

∴

(2)①连接ED，如图：

∵⊙O的直径为4,

∴⊙O的半径为2，即OC=OE=OM=OD=2,

假设四边形OEMD是菱形，则OE=EM,

又∵OE=OM,

∴OE=OM=EM,

∴△OEM是等边三角形,

∴∠EOG=60°

∵ GE与⊙O相切于E,

∴∠OEG=90°

∴∠EGO=90°-∠EOG=30°

∴OG=2EO=4,

∴

∴当EG=时，四边形OEMD为菱形；

故答案为：

②如图，连接OE,

当,四边形OEAG为平行四边形

∵O为直径CD的中点，

∴E为直径AC的中点，G为直径AD的中点

∴EG是△ACD的中位线

∴EG=

∴当EG=2时，四边形OEAG为平行四边形

故答案为：2