Question

【题目】如图，在中，，，，点为中点．动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，点关于点对称点为点，以为边向上作正方形．设点的运动时间为秒．

（1）当_______秒时，点落在边上．

（2）设正方形与重叠部分面积为，当点在内部时，求关于的函数关系式．

（3）当正方形的对角线所在直线将的分为面积相等的两部分时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的值为或．

【解析】

（1）如下图，根据，可得出PN与AP的关系，从而求出t的值；

（2）如下图，存在2种情况，一种是点M在△ABC内，另一种是点M在△ABC外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；

（3）如下图，存在2种情况，一种是PM所在的直线将△ABC的面积平分，另一种是QN所在的直线将△ABC的面积平分．

（1）如图1，点N在AC上

图1

由题意可知：PD=DQ=t，AP=7－t

∴PN=PQ=2t

∵

∴，即

解得：t=

（2）①如图2，

图2

四边形是正方形，

，

，

，即

解得，

故当≤时，；

②如图3，

图3

，，

，，

则，

，

，

则；

综上，．

（3）如下图，过点C作AB的垂线，交AB于点G

图4

∵

∴设CG=4x，则AG=3x

∵∠B=45°

∴△CBG是等腰直角三角形

∴GB=GC=4x

∵AB=14

∴3x+4x=14，解得：x=2

∴

∴

情况一：PM所在的直线平分△ABC的面积，如下图，PM与BC交于点E

图5

则

∵四边形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°

∵∠B=45°

∴△PBE是等腰直角三角形

∵

∴PE=PB=

∴PB=

∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t

∴7+t=

t=

情况二：如下图，QN所在线段平分△ABC的面积，QF交AC于点F，过点F作AB的垂线，交AB于点H

图6

同理，

∵四边形PQMN是正方形，∴∠EQH=45°

∴△FHQ是等腰直角三角形

∵

∴设FH=4y，则AH=3y，HQ=FH=4y，∴AQ=7y

∴，解得：y=

∵AQ=AB－QB=14－(7－t)=7+t

∴7+t=7

解得：t=7

∴综上得：的值为或．