Question

【题目】如图，为等边的高，，点P为直线上的动点（不与点B重合），连接，将线段绕点P逆时针旋转60°，得到线段，连接、．

（1）问题发现：如图①，当点D在直线上时，线段与的数量关系为_________，_________；

（2）拓展探究：如图②，当点P在的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）问题解决：当时，请直接写出线段的长度．

Answer 1

【答案】（1）相等；90°；（2）成立，证明见解析；（3）4或

【解析】

（1）连接AD，通过SAS证明，然后对应边、对应角相等、等量减等量，即可得出结论；

（2）连接AD，通过SAS证明，然后对应边、对应角相等、等量加等量，即可得出结论；

（3）通过前两问，我们知道是等边三角形，点D的轨迹是AP旋转60°得来的，A为定点，P再BC上运动是主动点，D为从动点，根据瓜豆原理可以得出D的轨迹是一条直线；BM长为定值、也为定值，利用定弦定角模型可知点D还应在圆弧上，因为点P可能在B点上方，还可能在C点下方，所以轨迹应为两段圆弧；通过以上分析可以作出图形，找到两种轨迹的交点，确定D点，求出AD即求出AP．

解：（1）相等；90°；

∵是等边三角形，

∴，

由旋转的性质可得：，，

∴是等边三角形，

∴，

∴

即

在与中，

∵，

∴，

∴，

∴

（2）成立，证明如下：

如图②，连接，

∵是等边三角形，

∴，

由旋转的性质可得：，，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

，

∴，

在与中，

∵，

∴，

∴，．

∵，

∴

（3）点P在直线BC上运动，由瓜豆原理可知，D点也应在直线上运动，在BC上选取两个特殊的P点位置，按照题意作出对应D点，然后连接点D所在直线确定；因为所以BM所对圆心角为60°，按照圆心在BM左侧和右侧两种情况，作出点D所在两端圆弧，直线与两端圆弧交点，即满足题意的点D，具体图形如下：

AP1=AD1=4；

AP2=AD2=

综上所述，AP长为4或．