Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx﹣10经过点A（12，0）和B（a，﹣5），双曲线y=经过点B．

（1）求直线y=kx﹣10和双曲线y=的函数表达式；

（2）点C从点A出发，沿过点A与y轴平行的直线向下运动，速度为每秒1个单位长度，点C的运动时间为t（0＜t＜12），连接BC，作BD⊥BC交x轴于点D，连接CD，

①当点C在双曲线上时，求t的值；

②在0＜t＜6范围内，∠BCD的大小如果发生变化，求tan∠BCD的变化范围；如果不发生变化，求tan∠BCD的值．

③当DC=时，请直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣；（2）①，②当0＜t＜6时，点D在线段OA上，∠BCD的大小不变．，③t=或（舍弃）；综上所述，满足条件的t的值为t=或s．

【解析】

（1）理由待定系数法即可解决问题；

（2）①求出点C坐标即可解决问题；

②如图1中，设直线AB交y轴于M，则M（0，﹣10），A（12， 0），取CD的中点K，连接AK、BK．证明A、D、B、C四点共圆，可得∠DCB=∠DAB，得出tan∠DCB=tan∠DAB=，即可解决问题；

③分两种情形分别构建方程即可解决问题；

（1）∵直线y=kx﹣10经过点A（12，0）和B（a，﹣5），

∴12k﹣10=0，

∴k=，

∴y=x﹣10，

∴﹣5=a﹣10，

∴a=6，

∴B（6，﹣5），

∵双曲线y=经过点B，

∴m=﹣30，

∴双曲线解析式为y=﹣．

（2）①∵AC∥y轴，

∴点C的横坐标为12，

y=﹣=﹣，

∴C（12，﹣），

∴AC=，

∴点C在双曲线上时，t的值为．

③如图2中，当t＜5时，作BM⊥OA于M，CN⊥BM于N．

则△CNB∽△BMD，

∴=，

∴=，

∴DM=（5﹣t），

∴AD=6+（5﹣t），

∵DC=，

∴[6+（5﹣t）]2+t2=（）2，

解得t=或（舍弃）．

当t＞5时，同法可得：[6﹣（t﹣5）]2+t2=（）2，

解得t=或（舍弃），

综上所述，满足条件的t的值为t=或s．