Question

【题目】如图1，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=1，连接DE、CD，点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，连接MP、PN、MN．

（1）求证：△PMN是等腰三角形；

（2）将△ADE绕点A逆时针旋转，

①如图2，当点D、E分别在边AC两侧时，求证：△PMN是等腰三角形；

②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时，请直接写出此时BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②.

【解析】

（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论PM=PN；

（2）①先证明△ABD≌△ACE，得BD=CE，同理根据三角形中位线定理可得结论；

②如图4，连接AM，计算AN和DE、EM的长，如图3，证明△ABD≌△CAE，得BD=CE，根据勾股定理计算CM的长，可得结论

（1）如图1，∵点N，P是BC，CD的中点，

∴PN∥BD，PN=BD，

∵点P，M是CD，DE的中点，

∴PM∥CE，PM=CE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴BD=CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形；

（2）①如图2，∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE，

∵点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，

∴PN=BD，PM=CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形；

②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时，如图3，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=CE，

如图4，连接AM，

∵M是DE的中点，N是BC的中点，AB=AC，

∴A、M、N共线，且AN⊥BC，

由勾股定理得：AN==4，

∵AD=AE=1，AB=AC=6，

∴=，∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△AEC，

∴，

∴，

∴AM=，DE=，

∴EM=，

如图3，Rt△ACM中，CM===，

∴BD=CE=CM+EM=．