Question

【题目】（问题提出）

求证：如果一个定圆的内接四边形对角线互相垂直，那么这个四边形每组对边的平方和是一个定值．

（从特殊入手）

我们不妨设定圆O的半径是R，⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD．请你在图①中补全特殊位置时的图形，并借助于所画图形探究问题的结论．

（问题解决）

已知：如图②，定圆⊙O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， AC⊥BD．

求证： ．

证明：

Answer 1

【答案】【从特殊入手】证明见解析；【问题解决】AB2+CD2=BC2+AD2=4R2；证明见解析.

【解析】

【从特殊入手】：根据正方形的性质、勾股定理计算；
【问题解决】：根据题意写出已知、求证，作直径DE，连接CE，根据圆周角定理证明∠ADB＝∠CDE，得到AB=CE，根据勾股定理计算．

【从特殊入手】

解：如果一个定圆的内接四边形对角线互相垂直，

那么这个四边形的对边平方和是定圆半径平方的4倍．

情况一： 如图1，当AC、BD是两条互相垂直的直径时．

则AB2＝OA2＋ OB2＝R2＋R2＝2R2，

CD2＝OC2＋ OD2＝R2＋R2＝2R2，

BC2＝OC2＋ OB2＝R2＋R2＝2R2，

AD2＝OA2＋ OD2＝R2＋R2＝2R2．

所以AB2＋CD2＝BC2＋AD2＝2R2＋2R2＝4R2．

情况二： 如图2，当AC⊥BD，且AC直径时．

根据垂径定理可知：AB＝AD，BC＝DC．

因为AC是直径，所以∠ABC＝∠ADC＝90°．

所以AB2＋CD2＝AD2＋CD2＝AC2＝4R2．

【问题解决】

求证：AB2+CD2=BC2+AD2=4R2

证明：如图3．作直径DE，连接CE．

∵DE是直径，∴∠DCE＝90°．

∵ 所对的圆周角是∠E与∠DAH，

∴∠E＝∠DAH．

∵∠DAC＋∠ADB＝90°，∠E＋∠CDE＝90°，

∴∠ADB＝∠CDE．

∴ ．∴AB＝CE．

∴AB2＋CD2＝CE2＋CD2＝DE2＝4R2．

同理：BC2＋AD2＝4R2．