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【题目】如图,在正方形ABCD中,点PAB上一动点(不与AB重合),对角线ACBD相交于点O,过点P分别作ACBD的垂线,分别交ACBD于点EF,交ADBC于点MN.下列结论:①APE≌△AME;②PM+PNAC;③POF∽△BNF;④当PMN∽△AMP时,点PAB的中点,其中一定正确的结论有_____.(填上所有正确的序号).

【答案】①②④.

【解析】

①根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE=MAE=45°,然后利用“角边角”证明△APE和△AME全等;②根据全等三角形对应边相等可得,同理,,证出四边形PEOF是矩形,得出PF=OE,证得△APE为等腰直角三角形,得出AE=PEPE+PF=OA,即可得到PM+PN=AC

③判断出△POF不一定等腰直角三角形,△BNF是等腰直角三角形,从而确定出两三角形不一定相似;④证出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形,从而得出结论.

四边形ABCD是正方形,

∴∠BACDAC45°

∵PM⊥AC

∴∠AEP=∠AEM=90°

APEAME中,

∴△APE≌△AMEASA),故正确;

同理,

正方形ABCD中,ACBD

PEACPFBD

∴∠PEOEOFPFO90°,且APEAEPE

四边形PEOF是矩形.

PFOE

△APE中,∠AEP=90°∠PAE=45°

∴△APE为等腰直角三角形,

∴AE=PE

PE+PFOA

PM+PNAC,故正确;

∵△BNF是等腰直角三角形,而POF不一定是,

∴△POFBNF不一定相似,故错误;

∵△AMP是等腰直角三角形,当PMN∽△AMP时,PMN是等腰直角三角形.

PMPN

∵△AMPBPN都是等腰直角三角形,

APBP,即PAB的中点.故正确.

故答案为:①②④

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1:四种款式电脑的利润

电脑款式

A

B

C

D

利润(元/台)

160

200

240

320

2:甲、乙两店电脑销售情况

电脑款式

A

B

C

D

甲店销售数量(台)

20

15

10

5

乙店销售数量(台)8

8

10

14

18

试运用统计与概率知识,解决下列问题:

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2)经市场调查发现,甲、乙两店每月电脑的总销量相当.现由于资金限制,需对其中一家分店作出暂停营业的决定,若从每台电脑的平均利润的角度考虑,你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定?并说明理由.

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数学思考:

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