【题目】如图,在正方形ABCD中,点P是AB上一动点(不与A,B重合),对角线AC、BD相交于点O,过点P分别作AC、BD的垂线,分别交AC、BD于点E、F,交AD、BC于点M、N.下列结论:①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③△POF∽△BNF;④当△PMN∽△AMP时,点P是AB的中点,其中一定正确的结论有_____.(填上所有正确的序号).
【答案】①②④.
【解析】
①根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE=∠MAE=45°,然后利用“角边角”证明△APE和△AME全等;②根据全等三角形对应边相等可得,同理,,证出四边形PEOF是矩形,得出PF=OE,证得△APE为等腰直角三角形,得出AE=PE,PE+PF=OA,即可得到PM+PN=AC;
③判断出△POF不一定等腰直角三角形,△BNF是等腰直角三角形,从而确定出两三角形不一定相似;④证出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形,从而得出结论.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠DAC=45°.
∵PM⊥AC,
∴∠AEP=∠AEM=90°,
在△APE和△AME中,
,
∴△APE≌△AME(ASA),故①正确;
∴,
同理,.
∵正方形ABCD中,AC⊥BD,
又∵PE⊥AC,PF⊥BD,
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°,且△APE中AE=PE
∴四边形PEOF是矩形.
∴PF=OE,
∵在△APE中,∠AEP=90°,∠PAE=45°,
∴△APE为等腰直角三角形,
∴AE=PE,
∴PE+PF=OA,
又∵,,,
∴PM+PN=AC,故②正确;
∵△BNF是等腰直角三角形,而△POF不一定是,
∴△POF与△BNF不一定相似,故③错误;
∵△AMP是等腰直角三角形,当△PMN∽△AMP时,△PMN是等腰直角三角形.
∴PM=PN,
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形,
∴AP=BP,即P是AB的中点.故④正确.
故答案为:①②④.
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【题目】如图,在中,,,,点为中点.动点从点出发,沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动,点关于点对称点为点,以为边向上作正方形.设点的运动时间为秒.
(1)当_______秒时,点落在边上.
(2)设正方形与重叠部分面积为,当点在内部时,求关于的函数关系式.
(3)当正方形的对角线所在直线将的分为面积相等的两部分时,直接写出的值.
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【题目】已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,且BD⊥DC,E为BC中点,AB=DE.
(1)求证:四边形ABED是菱形;
(2)若∠C=60°,CD=4,求四边形ABCD的面积.
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【题目】电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响,某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店,均销售A、B、C、D四种款式的电脑,每种款式电脑的利润如表1所示.现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的50台电脑的款式,统计各种款式电脑的销售数量,如表2所示.
表1:四种款式电脑的利润
电脑款式 | A | B | C | D |
利润(元/台) | 160 | 200 | 240 | 320 |
表2:甲、乙两店电脑销售情况
电脑款式 | A | B | C | D |
甲店销售数量(台) | 20 | 15 | 10 | 5 |
乙店销售数量(台)8 | 8 | 10 | 14 | 18 |
试运用统计与概率知识,解决下列问题:
(1)从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台,其利润不少于240元的概率为 ;
(2)经市场调查发现,甲、乙两店每月电脑的总销量相当.现由于资金限制,需对其中一家分店作出暂停营业的决定,若从每台电脑的平均利润的角度考虑,你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定?并说明理由.
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【题目】综合与实践:折纸中的数学
问题情境:
在矩形中,=12,点、分别是、的中点,点、分别在、上,且=,将△沿折叠,点的对应点为点,将△沿折叠,点的对应点为点Q,且点、均落在矩形的内部(如图①).
数学思考:
(1)判断与是否平行,并说明理由;
(2)当长度是多少时,存在点,使四边形是有一个内角为60°的菱形(如图②)?直接写出的长度及菱形的面积.
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【题目】如图,在平面直角标系中,抛物线C:y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D为y轴正半轴上一点.且满足OD=OC,连接BD,
(1)如图1,点P为抛物线上位于x轴下方一点,连接PB,PD,当S△PBD最大时,连接AP,以PB为边向上作正△BPQ,连接AQ,点M与点N为直线AQ上的两点,MN=2且点N位于M点下方,连接DN,求DN+MN+AM的最小值
(2)如图2,在第(1)问的条件下,点C关于x轴的对称点为E,将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′,将抛物线y=沿着射线PA方向平移,使得平移后的抛物线C′经过点E,此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F,连接E′F,B′F,R为线段E’F上的一点,连接B′R,将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT,在平面内找一个点S,使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形,求点S的坐标.
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【题目】已知抛物线,,直线.
(1)若该抛物线与轴交点的纵坐标为,求该抛物线的顶点坐标;
(2)证明:该抛物线与直线必有两个交点;
(3)若该抛物线经过点,且对任意实数,不等式都成立;当时,该二次函数的最小值为.求直线的解析式.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点P在AB上,点Q在DC的延长线上,连接DP,QP,且∠APD=∠QPD,PQ交BC于点G.
(1)求证:DQ=PQ;
(2)求AP·DQ的最大值;
(3)若P为AB的中点,求PG的长.
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【题目】2020年春节联欢晚会传承创新亮点多,收视率较往年大幅增长.成都高新区某学校对部分学生就2020年春晚的关注程度,采用随机抽样调査的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图(其中A表示“非常关注”;B表示“关注”;C表示“关注很少”;D表示“不关注”).
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)直接写出m=______;估计该校1800名学生中“不关注”的人数是______人;
(2)在一次交流活动中,老师决定从本次调查回答“关注”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法,而本次调查回答“关注”的这些同学中只有一名男同学,请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率.
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