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【题目】综合与实践:折纸中的数学

问题情境:

在矩形中,12,点分别是的中点,点分别在上,且,将沿折叠,点的对应点为点,将沿折叠,点的对应点为点Q,且点均落在矩形的内部(如图①).

数学思考:

1)判断是否平行,并说明理由;

2)当长度是多少时,存在点,使四边形是有一个内角为60°的菱形(如图②)?直接写出的长度及菱形的面积.

【答案】1)平行,证明见解析;(2AB= =6,菱形的面积=

【解析】

1)延长NQAD的延长线于H.首先证明EAM≌△FCN,进一步得出∠AMP=QNC,从而可证明∠AMP=AHN,由此得出结论;

2)由折叠得到PM=6,由直角三角形的性质得AOPO的长,再根据菱形的性质得PQMN的长,从而解决问题.

如图中,延长NQAD的延长线于H

∵四边形ABCD是矩形,

AD=BCADBC,∠A=C=90°

∵点MN分别是ADBC的中点,

AM=NC

PM=NQ

AE=CF

∴△EAM≌△FCNSAS),

∴∠AME=CNF

∵∠AME=EMP,∠CNF=FNQ

∴∠AMP=QNC

ADBC

∴∠AHN=CNH

∴∠AMP=AHN

PMNH,即PM//NQ

(2) 连接MNPQ相交于点O,如图,

∵四边形ABCD是矩形,AD=12,点MAD的中点,

AM=6

由折叠得,PM=AM=6

∵四边形PNQM是菱形,且∠MPN=60°

∴∠MPO=30°MNPQ

MO=3PO=

AB=MN=2MO=6PQ=2PO=6

∴菱形的面积=

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