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【题目】如图,在平面直角标系中,抛物线Cyx轴交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点Dy轴正半轴上一点.且满足ODOC,连接BD

1)如图1,点P为抛物线上位于x轴下方一点,连接PBPD,当SPBD最大时,连接AP,以PB为边向上作正BPQ,连接AQ,点M与点N为直线AQ上的两点,MN2且点N位于M点下方,连接DN,求DN+MN+AM的最小值

2)如图2,在第(1)问的条件下,点C关于x轴的对称点为E,将BOE绕着点A逆时针旋转60°得到B′O′E′,将抛物线y沿着射线PA方向平移,使得平移后的抛物线C′经过点E,此时抛物线C′x轴的右交点记为点F,连接E′FB′FR为线段E’F上的一点,连接B′R,将B′E′R沿着B′R翻折后与B′E′F重合部分记为B′RT,在平面内找一个点S,使得以B′RTS为顶点的四边形为矩形,求点S的坐标.

【答案】解:(1);(2)(,3+)或(﹣)或(﹣2,2).

【解析】

1)由抛物线解析式求点ABC坐标,由OD=OC求点D坐标.设点P横坐标为t,可用待定系数法求得用t表示的直线PB解析式,即能用t表示PBy轴交点G的坐标,进而用t表示DG的长.以DG为界把PBD分成左右两边的PDGBDG,则以DG为底计算易求得PBD面积与t的二次函数关系式,求对称轴即得到PBD最大时t的值,进而得到点P坐标.求得∠ABP=30°,即x轴平分∠PBQ,故点PQ关于x轴对称,得到点Q坐标,进而得到直线AQ解析式,发现∠QAB=PAB=60°.作直线AP,可得直线AQAP夹角为60°,过点MMHAPH,即构造出特殊RtMAN,得到MH=AM.把点D平移到D',使DD'MNDD'=MN,构造平行四边形MNDD',故DN=D'M.所以DN+MN+AM可转化为MN+D'M+MH.易得当点D'MH在同一直线上时,线段和会最短,即过D'D'KAPKD'K的值为所求.根据平移性质求D'坐标,求直线D'K与直线AP解析式,联立方程组求得K的坐标,即求得D'K的长.

2)抛物线平移不改变开口方向和大小,再求得点E坐标和点A坐标,可用待定系数法求平移后的解析式,进而求得点F.由旋转性质可得ABB'AEE'为等边三角形,求出点E'B'坐标,B'Fx轴且B'E'F为含30°的直角三角形.把点RE'移动到F的过程,发现∠RB'T一定小于90°,不可能成为矩形内角,故只能是∠B'RT或∠B'TR=90°.点T可以在E'F上,也可以在B'F上,画出图形,根据含30°的直角三角形三边关系计算各线段长,即能求点S坐标.

解:(1)如图1,过点DDD'MN,且DD'MN2,连接D'M;过点D'D'Jy轴于点J

作直线AP,过点MMHAP于点H,过点D'D'KAP于点K

y0

解得:x1=﹣3x21

A(﹣30),B10

x0时,y=﹣

C0,﹣),OC

ODOCD0

Pt t2+t)(﹣3t1

设直线PB解析式为ykx+b,与y轴交于点G

解得:

∴直线PBy=(t+xtG0,﹣t

DG﹣(﹣t)=t+

SBPDSBDG+SPDGDGxB+DG|xP|DGxBxP)=t+)(1t)=﹣t2+4t5

t=﹣=﹣2时,SBPD最大

P(﹣2,﹣),直线PB解析式为yx,直线AP解析式为y=﹣x3

tanABP

∴∠ABP30°

∵△BPQ为等边三角形

∴∠PBQ60°BPPQBQ

BA平分∠PBQ

PQx轴,PQx轴交点IPQ中点

Q(﹣2

RtAQI中,tanQAI

∴∠QAI=∠PAI60°

∴∠MAH180°﹣∠PAI﹣∠QAI60°

MHAP于点H

RtAHM90°sinMAH

MHAM

DD'MNDD'MN2

∴四边形MNDD'是平行四边形

D'MDN

DN+MN+AM2+D'M+MH

D'KAP于点K

∴当点D'MH在同一直线上时,DN+MN+AM2+D'M+MH2+D'K最短

DD'MND0

∴∠D'DJ30°

D'JDD'1DJDD'

D'1

∵∠PAI60°,∠ABP30°

∴∠APB180°﹣∠PAI﹣∠ABP90°

PBD'K

设直线D'K解析式为yx+d

把点D'代入得: +d

解得:d

∴直线D'Kyx+

把直线AP与直线D'K解析式联立得:

解得:

K(﹣

D'K

DN+MN+AM的最小值为

2)连接B'ABB'EAE'AEE',如图2

∵点C0,﹣)关于x轴的对称点为E

E0

tanEAB

∴∠EAB30°

∵抛物线C'由抛物线C平移得到,且经过点E

∴设抛物线C'解析式为:yx2+mx+

∵抛物线C'经过点A(﹣30

×93m+0

解得:m

∴抛物线C'解析式为:yx2+x+

x2+x+0,解得:x1=﹣3x2=﹣1

F(﹣10

∵将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′

∴∠BAB'=∠EAE'60°AB'AB1﹣(﹣3)=4AE'AE

∴△ABB'、△AEE'是等边三角形

∴∠E'AB=∠E'AE+EAB90°,点B'AB的垂直平分线上

E'(﹣32),B'(﹣12

B'E'2,∠FB'E'90°E'F

∴∠B'FE'30°,∠B'E'F60°

①如图3,点TE'F上,∠B'TR90°

过点SSWB'E'于点W,设翻折后点E'的对应点为E'

∴∠E'B'T30°B'TB'E'

∵△B′E′R翻折得△B'E'R

∴∠B'E'R=∠B'E'R60°B'E'B'E'2

E'TB'E'B'T2

RtRTE'中,RTE'T23

∵四边形RTB'S是矩形

∴∠SB'T90°SB'RT23

∴∠SB'W=∠SB'T﹣∠E'B'T60°

B'WSB'SWSB'3

xSxB'B'WySyB'+SW3+

S3+

②如图4,点TE'F上,∠B'RT90°

过点SSXB'F于点X

E'RB'E'1,点E'翻折后落在E'F上即为点T

B'SRTE'R1

∵∠SB'X90°﹣∠RB'F30°

XSB'SB'XB'S

xSxB'+XS=﹣ySyB'B'X

S(﹣

③如图5,点TB'F上,∠B'TR90°

RE'E'B',∠E'=∠B'E'R60°

∴∠E'BE'=∠E'RE'120°

∴四边形B'E'RE'是平行四边形

E'RE'R

B'E'RE'是菱形

B'E'E'R

∴△B'E'R是等边三角形

∵∠B'SR90°,即RSB'E'

∴点SB'E'中点

S(﹣22

综上所述,使得以B′RTS为顶点的四边形为矩形的点S坐标为(3+)或(﹣)或(﹣22).

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收集数据:

从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工,进行了生产技能测试,测试成绩(百分制)如下:

整理、描述数据:

按如下分数段整理、描述这两组样本数据:

成绩

人数

部门

40≤x≤49

50≤x≤59

60≤x≤69

70≤x≤79

80≤x≤89

90≤x≤100

0

0

1

11

7

1

(说明:成绩80分及以上为生产技能优秀,70—79分为生产技能良好,60—69分为生产技能合格,60分以下为生产技能不合格)

分析数据:

两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:

部门

平均数

中位数

众数

783

775

78

81

得出结论:

.估计乙部门生产技能优秀的员工人数约为

.可以推断出 部门员工的生产技能水平高.理由为

(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)

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【题目】某种水果按照果径大小可分为4个等级:标准果、优质果、精品果、礼品果,某采购商从采购的一批该种水果中随机抽取100个,利用它的等级分类标准得到的数据如下:

等级

标准果

优质果

精品果

礼品果

个数

10

30

40

20

用样本估计总体,果园老板提出两种购销方案给采购商参考,

方案1:不分类卖出,售价为20/个;

方案2:分类卖出,分类后的水果售价如下:

等级

标准果

优质果

精品果

礼品果

售价(元/个)

16

18

22

24

1)从采购商的角度考虑,应该采用哪种购销方案?

2)若采购商采购的该种水果的进价不超过20/个,则采购商可以获利,现从这种水果的4个等级中任选2种,按方案2进行购买,求这2种等级的水果至少有一种能使采购商获利的概率.

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1)一共有多少名学生参与了本次问卷调查;

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人数

满意度评分

餐厅

非常满意

较满意

一般

不太满意

非常不满意

合计

A

28

40

10

10

12

100

B

25

20

45

6

4

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