Question

【题目】如图，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是两直线y1=2x+6、y2=2x﹣6中某条上的一点，若△APD是等腰Rt△，则点D的坐标为

Answer 1

【答案】（4，2），（4，14），（ ， ），（ ， ）
【解析】解：易知：A（0，6），C（8，0），AB=8，OA=BC=6；
则点A正好位于直线y=2x+6上；
1）当点D位于直线y=2x+6上时，分三种情况：
①点P为直角顶点，结合图形，显然此时点D位于第四象限，不合题意；
②点D为直角顶点，那么∠DAP=45°，结合图形2可知：∠DAB＞45°，
而点P位于线段BC上，故不存在这样的等腰直角三角形；
③点A为直角顶点，如图；
过D作DE⊥y轴于E，则△ADE≌△APB，得：AE=AB=8；
即点D的纵坐标为：14，代入y=2x+6中，可求得
点D（4，14）；
2）当点D位于直线y=2x﹣6上时，分三种情况：
①点A为直角顶点，结合图形可知，此种情况显然不合题意；
②点D为直角顶点，分两种情况：
a、点D在矩形AOCB的内部时，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D（x，2x﹣6）；
则OE=2x﹣6，AE=6﹣（2x﹣6）=12﹣2x，DF=EF﹣DE=8﹣x；
则△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：
12﹣2x=8﹣x，x=4；
∴D（4，2）；
b、点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，2x﹣6）；
则OE=2x﹣6，AE=OE﹣OA=2x﹣6﹣6=2x﹣12，DF=EF﹣DE=8﹣x；
同1可知：△ADE≌△DPFAE=DF，即：
2x﹣12=8﹣x，x= ；
∴D（ ， ）；
③点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部；
设点D（x，2x﹣6），则CF=2x﹣6，BF=2x﹣6﹣6=2x﹣12；
易证得△APB≌△PDF，得：
AB=PF=8，PB=DF=x﹣8；
故BF=PF﹣PB=8﹣（x﹣8）=16﹣x；
联立两个表示BF的式子可得：
2x﹣12=16﹣x，即x= ；
∴D（ ， ）；
综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；
且D点的坐标为：（4，2），（4，14），（ ， ），（ ， ）．