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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=,对角线BD、AC交于点O.将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F.

1试说明在旋转过程中,AF与CE总保持相等;

2证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;

3在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,求出此时AC绕点O顺时针旋转的角度.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)45°.

【解析】

试题分析:(1)根据平行四边形的对边平行可得ADBC,对角线互相平分可得OA=OC,再根据两直线平行,内错角相等求出1=2,然后利用角边角证明AOF和COE全等,根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE;

(2)根据垂直的定义可得BAO=90°,然后求出BAO=AOF,再根据内错角相等,两直线平行可得ABEF,然后根据平行四边形的对边平行求出AFBE,再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明;

(3)根据(1)的结论可得AF=CE,再求出DFBE,DF=BE,然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形BEDF平行四边形,再求出对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得EFBD时,四边形BEDF是菱形;根据勾股定理列式求出AC=2,再根据平行四边形的对角线互相平分求出AO=1,然后求出AOB=45°,再根据旋转的定义求出旋转角即可.

试题解析:(1)在ABCD中,ADBC,OA=OC,

∴∠1=2,

AOF和COE中,

∴△AOF≌△COE(ASA),

AF=CE;

(2)由题意,AOF=90°(如图2),

ABAC,

∴∠BAO=90°

AOF=90°

∴∠BAO=AOF,

ABEF,

四边形ABCD是平行四边形,

ADBC,

即:AFBE,

ABEF,AFBE,

四边形ABEF是平行四边形;

(3)当EFBD时,四边形BEDF是菱形(如图3).

ABCD,AF=CE,

ADBC,AD=BC,

DFBE,DF=BE,

四边形BEDF是平行四边形,

EFBD,

BEDF是菱形,

ABAC,

ABC中,BAC=90°

BC2=AB2+AC2

AB=1,BC=

AC===2,

四边形ABCD是平行四边形,

OA=AC=×2=1,

AOB中,AB=AO=1,BAO=90°

∴∠1=45°

EFBD,

∴∠BOF=90°

∴∠2=BOF-1=90°-45°=45°

即:旋转角为45°

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