Question

【题目】数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上.

(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由.

(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）3.

【解析】

（1）根据正方形的性质，得△ADG≌△ABE，所以∠AGD＝∠AEB. 延长EB交DG于点H.由图形及题意，得到∠DHE ＝90°，所以，.（2）根据正方形的性质等，先证明△ADG≌△ABE(SAS) ，得到DG＝BE. 过点A作AM⊥DG交DG于点M.由题意，得AM＝BD＝1，再由勾股定理，得到GM＝2，所以DG＝DM＋GM＝1＋2＝3，最后得到BE＝DG＝3.

(1)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形

∴AD＝AB,∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE

∴△ADG≌△ABE

∴∠AGD＝∠AEB

如图1，延长EB交DG于点H

△ADG中 ∠AGD＋∠ADG＝90°

∴∠AEB＋∠ADG＝90°

△DEH中, ∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°

∴∠DHE ＝90°

∴

(2)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形

∴AD＝AB, ∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE

∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG

∴∠DAG＝∠BAE

AD＝AB, ∠DAG＝∠BAE,AG＝AE

∴△ADG≌△ABE(SAS)

∴DG＝BE

如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M,

∠AMD＝∠AMG＝90°

BD是正方形ABCD的对角线

∴∠MDA＝∠MDA＝∠MAB＝45°, BD＝2

∴AM＝BD＝1

在Rt△AMG中，

∵

∴GM＝2

∵DG＝DM＋GM＝1＋2＝3

∴BE＝DG＝3