Question

如图，AC是⊙O的直径，四边形ABCD是平行四边形，AD，BC分别交⊙O于点F，E，连接AE，CF．
（1）试判断四边形AECF是哪种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若AB与⊙O相切于点A，且⊙O的半径为5cm，弦CE的长为8cm，求AB的长．

Answer 1

考点：切线的性质,平行四边形的性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）根据圆周角定理得到∠AEC=∠AFC=90°，再根据平行四边形的性质得AF∥EC，所以∠EAC=∠AEC=90°，于是可判断四边形AECF是矩形；
（2）根据切线的性质得∠BAC=90°，再证明Rt△CAE∽Rt△CBA，利用CA：CB=CE：CA可计算出BC，然后根据勾股定理可计算出AB．

解答：解：（1）四边形AECF是矩形．理由如下：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EC，
∴∠EAC=∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形

（2）∵AB与⊙O相切于点A，
∴∠BAC=90°，
∵∠ACE=∠BCA，
∴Rt△CAE∽Rt△CBA，
∴CA：CB=CE：CA，即10：CB=8：10，
∴BC=

25

2

，
在Rt△ABC中，AB=

BC2-AC2

=

15

2

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理、平行四边形的性质以及三角形相似的判定与性质．