Question

【题目】综合与探究

已知：、是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点、．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中抛物线与轴的另一交点为，抛物线的顶点为，试求出点、的坐标和的面积；

（3）是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请直接写出点的坐标 ；

（4）若点在直线上，点在平面上，直线上是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x24x+5；（2）15；（3）(,0)或(,0)；（4）存在M点，M点坐标为(7,12)或

【解析】

（1）通过解方程即可求出p、q的值，那么A、B两点的坐标就可求出．然后根据A、B两点的坐标即可求出抛物线的解析式．

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出C、D两点的坐标．由于△BCD的面积无法直接求出，可用其他图形的面积的“和，差关系”来求出．过D作DM⊥x轴于M，那么△BCD的面积=梯形DMOB的面积+△DCM的面积-△BOC的面积．由此可求出△BCD的面积．

（3）由于△PCH被直线BC分成的两个小三角形等高，因此面积比就等于底边的比．如果设PH与BC的交点为E，那么EH就是抛物线与直线BC的函数值的差，而EP就是E点的纵坐标．然后可根据直线BC的解析式设出E点的坐标，然后表示出EH，EP的长．进而可分两种情况进行讨论：①当EH=EP时；②当EH=EP时．由此可得出两个不同的关于E点横坐标的方程即可求出E点的坐标．也就求出了P点的坐标．

（4）分两种情况讨论，当CD=DM和当时，根据M点在直线BC上设出M点坐标，根据两点间距离公式列出方程即可求解出M点坐标．

解方程x26x+5=0，

(x1)(x5)=0，

得x1=5，x2=1

∵，

∴p=1，q=5

∴点A、B的坐标分别为A(1,0)，B(0,5)．

将A(1,0)，B(0,5)的坐标分别代入y=x2+bx+c．

得

得：

∴抛物线的解析式为y=x24x+5

故答案为：y=x24x+5

(2)∵y=x24x+5，

令y=0，得x24x+5=0，

得x1=5，x2=1，

∴C点的坐标为(5,0)

∵，

∴点D(2,9)

过D作x轴的垂线交x轴于M

∴S△DMC=×9×(52)=

S梯形MDBO=×2×(9+5)=14，

S△BOC=×5×5=

∴S△BCD=S梯形MDBO+S△DMCS△BOC=14+=15

故答案为：15

(3)设P点的坐标为(a,0)

∵B(0,5)，C (5,0)

设BC直线的解析式为y=kx+b

∴

∴

∴BC所在的直线解析式为y=x+5

设PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5)，

PH与抛物线y=x24x+5的交点坐标为H(a,a24a+5)

∵①EH=EP，

即(a24a+5)(a+5)=(a+5)

∴a=或a=5(舍去)

②EH=EP，

即(a24a+5)(a+5)=(a+5)

∴a=或a=5(舍去)，

P点的坐标为(,0)或(,0)

故答案为：(,0)或(,0)

（4）①∵M在直线BC上，设M(m,m+5)

若使四边形CDMN为菱形，则CD=DM

∵C(-5,0)，D(-2,9)

∴

解得m=-5或m=7

m=-5时，恰好为C点，不符合题意舍去

∴m=7

∴M(7,12)

②∵直线BC上存在一点，设

若使四边形是菱形，则

∵C(-5,0)，D(-2,9)

∴

解得

∴

综上所述在直线BC上存在一点M，且以点、点、点、点为顶点的四边形为菱形，此时M点坐标为(7,12)或

故答案为：存在M点，M点坐标为(7,12)或