Question

3．探究函数y=x+$\frac{4}{x}$的图象与性质
（1）函数y=x+$\frac{4}{x}$的自变量x的取值范围是x≠0；
（2）下列四个函数图象中，函数y=x+$\frac{4}{x}$的图象大致是C；

（3）对于函数y=x+$\frac{4}{x}$，求当x＞0时，y的取值范围．
请将下面求解此问题的过程补充完整：
解：∵x＞0
∴y=x+$\frac{4}{x}$
=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²
=（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²+2．
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²≥0，
∴y≥2．
【拓展应用】
（4）若函数y=$\frac{{x}^{2}+5x+4}{x}$，则y的取值范围是y≥7．

Answer 1

分析 （1）根据分母不能等于零，可以解答本题；
（2）根据函数解析式可以判断函数图象所在的位置，本题得以解决；
（3）根据题目中的解答过程可以将没写的补充完整；
（4）根据（3）的特点可以解答本题．

解答 解：（1）∵y=x+$\frac{4}{x}$，
∴x≠0，
故答案为：x≠0；
（2）∵y=x+$\frac{4}{x}$，
∴x＞0时，y＞0，
当x＜0时，y＜0，故选项B、D错误，
∵x≠0，∴选项A错误，
故选C；
（3）解：∵x＞0
∴y=x+$\frac{4}{x}$
=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²
=（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²+2
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²≥0，
∴y≥2，
故答案为：2，2；
（4）y=$\frac{{x}^{2}+5x+4}{x}$=x+5+$\frac{4}{x}$=（x+$\frac{4}{x}$）+5≥7，
故答案为：y≥7．

点评 本题考查二次函数的性质、一次函数图象上点的特征、二次函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．