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【题目】(问题情境)

如图1,四边形ABCD是正方形,MBC边上的一点,ECD边的中点,AE平分∠DAM

(探究展示)

(1)证明:AM=AD+MC

(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

(拓展延伸)

(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示(1)(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.

【答案】(1)证明见解析;(2)AM=DE+BM成立,证明见解析;(3)①结论AM=AD+MC仍然成立;结论AM=DE+BM不成立.

【解析】

1)从平行线和中点这两个条件出发,延长AEBC交于点N,易证△ADE≌△NCE,得到AD=CN,再证明AM=NM即可;2)过点AAF⊥AE,交CB的延长线于点F

易证△ABF≌△ADE,从而证明AM=FM,即可得证;(3AM=DE+BM需要四边形ABCD是正方形,故不成立,AM=AD+MC仍然成立.

(1)延长AEBC交于点N,如图1(1)

四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC∴∠DAE=∠ENC

∵AE平分∠DAM∴∠DAE=∠MAE∴∠ENC=∠MAE∴MA=MN

△ADE△NCE中,

∴△ADE≌△NCE(AAS)∴AD=NC∴MA=MN=NC+MC=AD+MC

(2)AM=DE+BM成立.

证明:过点AAF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图1(2)所示.

四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°AB=ADAB∥DC

∵AF⊥AE∴∠FAE=90°∴∠FAB=90°∠BAE=∠DAE

△ABF△ADE中,

∴△ABF≌△ADE(ASA)

∴BF=DE∠F=∠AED

∵AB∥DC

∴∠AED=∠BAE

∵∠FAB=∠EAD=∠EAM

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM

∴∠F=∠FAM

∴AM=FM

∴AM=FB+BM=DE+BM

(3)①结论AM=AD+MC仍然成立.结论AM=DE+BM不成立.

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