Question

18．如图，矩形ABCD中，点E是CD边长的一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）若sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，求tan∠FBE的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形ABCD中，△BCE沿BE折叠为△BFE，易得∠BFE=∠C=90°，∠ABF=∠DFE，则可证得：△ABF∽△DFE；
（2）由sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，可得$\frac{DE}{EF}$=$\frac{1}{3}$，然后设DE=a，则EF=3a，DF=2$\sqrt{2}$a，由△ABF∽△DFE，则可求得FE：BF的值，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∴∠AFB+∠ABF=90°，
∵∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=90°，
∴∠ABF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE；

（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE=$\frac{DE}{EF}$=$\frac{1}{3}$，
设DE=a，则EF=3a，DF=2$\sqrt{2}$a，
∴CE=EF=3a，AB=CD=DE+CE=4a，
∵△ABF∽△DFE，
∴$\frac{FE}{BF}$=$\frac{DF}{AB}$=$\frac{2\sqrt{2}a}{4a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠FBE=$\frac{FE}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质以及三角函数等知识．注意掌握折叠前后图形的对应关系．