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【题目】如图1Rt△ACB 中,C=90°,点DAC上,CBD=∠A,过AD两点的圆的圆心OAB上.

1)利用直尺和圆规在图1中画出O(不写作法,保留作图痕迹,并用黑色水笔把线条描清楚);

2)判断BD所在直线与(1)中所作的O的位置关系,并证明你的结论;

3)设OAB于点E,连接DE,过点EEFBCF为垂足,若点D是线段AC的黄金分割点(即),如图2,试说明四边形DEFC是正方形.

【答案】1)作图见解析;(2BD与⊙O相切;(3)证明见解析.

【解析】试题分析:1)如图1,作线段AD的垂直平分线交ABO,然后以点O为圆心,OA为半径作圆;

2)连接OD,如图1,利用A=∠ODACBD=∠A得到CBD=∠ODA,则可证明ODB=90°,然后根据切线的判定方法可判断BDO的切线;

3先证明CDB∽△CBA得到CB2=CDCA,再根据黄金分割的定义得到AD2=CDAC,则AD=CB,接着证明ADE≌△BCD得到DE=DC,易得四边形CDEF为矩形,然后根据正方形的判定方法可判断四边形DEFC是正方形.

试题解析:解:(1)如图1O为所作;

2BDO相切.理由如下:

连接OD,如图1OA=OD∴∠A=∠ODA∵∠CBD=∠A∴∠CBD=∠ODA∵∠C=90°∴∠CBD+∠CDB=90°∴∠ODA+∠CDB=90°∴∠ODB=90°ODBDBDO的切线;

3∵∠CBD=∠ADCB=∠BCA∴△CDB∽△CBACDCB=CBCACB2=CDCAD是线段AC的黄金分割点,AD2=CDACAD=CBAE为直径,∴∠ADE=90°,在ADEBCD∵∠A=∠CBDAD=BCADE=∠C∴△ADE≌△BCDDE=DCEFBC∴∠EFC=90°四边形CDEF为矩形,四边形DEFC是正方形.

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