Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；

（3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形，理由详见解析；（3）M（1，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．

【解析】

（1）判断出抛物线的解析式中二次项系数，再利用交点式，即可得出结论；

（2）分两种情况：当∠AQP＝90°，判断出点P在y轴右侧，不符合题意，当∠APQ＝90°时，根据相似三角形的性质得出比例式，建立方程求出t的值，而t大于4，也不符合题意，即可得出结论；

（3）先求出△AOC的面积，进而得出△AOM的面积，进而建立方程求解即可得出结论．

解：（1）∵二次函数y＝﹣ x2+bx+c过点A（﹣3，0），B（4，0），

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；

（2）在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形，

理由：由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4，

∴C（0，4），

∵A（﹣3，0），B（4，0），

∴AC＝5，OA＝3，OC＝4，

由运动知，AP＝t，OQ＝t，

∴AQ＝3+t，（0＜t＜4）

∵∠OAP是Rt△AOC的一个锐角，

∵△APQ是直角三角形，

①当∠AQP＝90°时，

∵∠AOC＝90°＝∠AQP，

∴PQ∥y轴，

∵点Q在OB上，

∴点P不可能在第二象限内，此种情况不存在，

②当∠APQ＝90°时，

∵∠AOC＝90°＝∠APQ，

∵∠PAQ＝∠OAC，

∴△AOC∽△APQ，

∴，

∴ ，

∴t＝ ，

∵0＜t＜4，

∴此种情况不符合题意，

即在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形；

（3）由（2）知，OA＝3，OC＝4，

∴S△AOC＝OAOC＝6，

∵△AOM的面积与△AOC的面积相等，

∴S△AOM＝6，

设点M（m，﹣m2+m+4），

∴S△AOM＝OA|﹣m2+m+4|＝|﹣m2+m+4|＝6，

∴m＝0（舍）或m＝1或 ，

∴M（1，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．