Question

【题目】问题发现：

（1）如图①，在中，，，，点是的中点，点在边上，将沿着折叠后得到，连接并使得最小，请画出符合题意的点；

问题探究：

（2）如图②，已知在和中，，，，连接，点是的中点，连接，求的最大值；

问题解决：

（3）西安大明宫遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，为了丰富同学们的课外学习生活，培养同学们的探究实践能力，周末光明中学的张老师在家委会的协助下，带领全班同学去大明宫开展研学活动．在公园开设的一处沙地考古模拟场地上，同学们参加了一次模拟考古游戏．张老师为同学们现场设计了一个四边形的活动区域，如图③所示，其中为一条工作人员通道，同学们的入口设在点处，，，，米．在上述条件下，小明想把宝物藏在距入口尽可能远的处让小鹏去找，请问小明的想法是否可以实现？如果可以，请求出的最大值及此时区域的面积，如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）作图见详解；

（2）的最大值是：；

（3）的最大值为，此时区域的面积为.

【解析】

（1）根据题意判断出点的运动轨迹即可得解；

（2）如图②中，取的中点,连接即可求解；

（3）如图③中，作的外接圆交于，连接，证明是等边三角形，，由可以推出点的运动轨迹是圆弧，不妨设圆心为，连接则求出，即可求解.

（1） 是由沿着折叠后得到

点的运动轨迹是以点为圆心，以为半径的圆

要使最小，只能是当三点共线时

作图如下所示：

（2）如图②中，取的中点，连接

∵

∴

∴

∴，

∵

∴

∵，

∴

∴的最大值是；

（3）如图③中，作的外接圆交于，连接．

∵

∴

∴

∵

∴是等边三角形,

∵

∴点的运动轨迹是圆弧，不妨设圆心为，连接则

作于，在中，

∴

∵

∴

在中，

∵，

∴

∴的最大值为，此时共线，如图③﹣1中，作于

∵

∴

∴

∴