Question

【题目】抛物线经过点O（0，0）与点A（4，0），顶点为点P，且最小值为-2．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点O作PA的平行线交抛物线对称轴于点M，交抛物线于另一点N，求ON的长；

（3）抛物线上是否存在一个点E，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，使得△EFO∽△AMN，若存在，试求出点E的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的表达式为，（或）；（2）；（3）抛物线上存在点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有2个，分别是（，）和（，）．

【解析】

（1）由点O（0，0）与点A（4，0）的纵坐标相等，可知点O、A是抛物线上的一对对称点，所以对称轴为直线x=2，又因为最小值是-2，所以顶点为（2，-2），利用顶点式即可用待定系数法求解；

（2）设抛物线对称轴交轴于点D、N（,），先求出=45°，由ON∥PA，依据平行线的性质得到=45°，依据等腰直角三角形两直角边的关系可得到=，解出即可得到点N的坐标，再运用勾股定理求出ON的长度；

（3）先运用勾股定理求出AM和OM，再用ON-OM得MN，运用相似三角形的性质得到EF：FO的值，设E（，），分点E在第一象限、第二或四象限讨论，依据EF：FO=1

:2列出关于m的方程解出即可.

解：（1）∵抛物线经过点O（0，0）与点A（4，0），

∴对称轴为直线x=2，

又∵顶点为点P，且最小值为-2,，

∴顶点P（2，-2）,

∴设抛物线的表达式为

将O（0，0）坐标代入，解得

∴抛物线的表达式为，即；

（2）设抛物线对称轴交轴于点D，

∵顶点P坐标为（2，-2），

∴点D坐标为（2，0）

又∵A（4，0），

∴△ADP是以为直角的等腰直角三角形，=45°

又∵ON∥PA ，

∴=45°

∴若设点N的坐标为（,）则=

解得，

∴点N的坐标为（，）

∴

（3）抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，理由如下：

连接PO、AM，

∵=45°，=90°,

∴，

又∵由点D坐标为（2，0），得OD=2，

∴，

又∵=90°,由A（4，0），D（2，0）得AD=2，

∴,

同理可得,

∴,

∴AM：MN=： =1：2

∵△EFO∽△AMN

∴EF：FO=AM：MN=1：2

设点E的坐标为（，）（其中），

①当点E在第一象限时，，

解得，此时点E的坐标为（，），

②当点E在第二象限或第四象限时，，

解得，此时点E的坐标为（，）

综上所述，抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有2个，分别是（，）和（，）．