Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD= ，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．
（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是；
（2）若射线EF经过点C，则AE的长是 ．

Answer 1

【答案】
（1）6
（2）2或5
【解析】解：（1.）如图1，过E点作EG⊥DF，
∵E是AB的中点，
∴DG=3，
∴EG=AD= ，
∴∠DEG=60°，
∵∠DEF=120°，
∴tan60°= ，
解得GF=3，
∴DF=6；
（2.）如图2所示：

过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CM⊥AB于M，则BH=AD=MF= ，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH=BM= = =1，
设AE=x，则BE=6﹣x，
在Rt△EFM中，EF= = = ，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠BEC，
∵∠DEF=∠B=120°，
∴△EDF∽△BCE，即△EDF∽△BFE
∴ ，
∴EF2=DFBE，即（7﹣x）2+3=7（6﹣x）
解得x=2或5
所以答案是：2或5．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对直角梯形的理解，了解一腰垂直于底的梯形是直角梯形．