Question

13．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C=2∠E．
（1）求证：AD=BC；
（2）若∠BDC=30°，AD=5，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由平行线得出同位角相等、内错角相等，再由角平分线即可得出∠ADC=2∠E，结合已知条件∠C=2∠E，证出∠ADC=∠C，证出等腰梯形，即可得出结论；
（2）先求出∠C=60°，再由三角形内角和得出∠DBC=90°，利用含30°的直角三角形的性质得出结果．

解答 （1）证明：∵AE∥BD，
∴∠E=∠BDC，∠EAD=∠ADB，
∵DB平分∠ADC，
∴∠BDC=∠ADB，
∴∠ADC=2∠E，
又∵∠C=2∠E，
∴∠ADC=∠C，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC；
（2）解：∵∠BDC=30°，
∴∠C=2∠E=2∠BDC=60°，
∴∠DBC=90°，
∴CD=2BC=2AD=2×5=10．

点评 本题考查了等腰梯形的判定与性质、平行线的性质以及含30°的直角三角形的性质；证明梯形是等腰梯形是解决问题的关键．