Question

3．在平面直角坐标系xOy中，点A（-4，0），B（2，0），设点C是函数y=-$\sqrt{3}$（x+1）图象上的一个动点，若△ABC是直角三角形，则点C的坐标是（-4，3$\sqrt{3}$），（2，-3$\sqrt{3}$），（-$\frac{5}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 根据题意画出相应的图形，如图所示，分四种情况考虑：当AC垂直于x轴；当BC垂直于x轴；当C在第二象限，且AC⊥BC；当C在第四象限，且AC⊥BC，分别求出C的坐标即可．

解答 解：画出相应的图形，如图所示，分四种情况考虑：
设C坐标为（a，-$\sqrt{3}$（a+1）），
当AC⊥x轴时，C坐标为（-4，3$\sqrt{3}$）；
当BC⊥x轴时，C坐标为（2，-3$\sqrt{3}$）；
当AC⊥BC时，k_AC•k_BC=-1，即$\frac{-\sqrt{3}（a+1）}{a+4}$•$\frac{-\sqrt{3}（a+1）}{a-2}$=-1，
整理得：4a²+8a-5=0，即（2a-1）（2a+5）=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$或a=-$\frac{5}{2}$，
当a=$\frac{1}{2}$时，C坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
当a=-$\frac{5}{2}$时，C坐标为（-$\frac{5}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
综上，点C的坐标为（-4，3$\sqrt{3}$），（2，-3$\sqrt{3}$），（-$\frac{5}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
故答案为：（-4，3$\sqrt{3}$），（2，-3$\sqrt{3}$），（-$\frac{5}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两直线垂直时斜率满足的关系，一元二次方程的解法-因式分解法，利用了数形结合及分类讨论的思想，分类讨论时考虑问题要全面，做到不重不漏．