Question

11．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AE=AD，点F、G是对角线BD上的两点，且△AFG是等腰三角形，∠FAG=90°，若AF=3$\sqrt{2}$，EF=2，则?ABCD的面积为34．

Answer 1

分析 根据勾股定理，可得FG的长，根据等腰直角三角形的性质，可得AH、HG的长，根据全等三角形的判定与性质，可得GD的长，再根据勾股定理，可得AD的长，根据平行四边形的面积公式，可得答案．

解答 解：作AH⊥BD与H点，
在Rt△AFG中，由勾股定理，得
FG=$\sqrt{A{F}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=6
由等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AH=HG=$\frac{1}{2}$FG=3，
由?ABCD中，AE⊥BC于点E，得
∠AEC=90°=∠EAD．
由∠FAE+EAG=∠EAG+∠DAG，得
∠FAE=∠GAD．
在△AFE和△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AG}\\{∠FAE=∠GAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AGD（SAS），
∴GD=EF=2．
由线段的和差，得HD=HG+GD=3+2=5．
在Rt△AHD中，由勾股定理，得
AD=$\sqrt{A{H}^{2}+H{D}^{2}}$$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
S_{平行四边形ABCD}=AD•AE=（$\sqrt{34}$）²=34．

点评 本题考查了平行四边形的性质，利用等腰直角三角的性质得AH、HG的长，利用全等三角形的判定与性质得出CD的长是解题关键．