Question

4．已知：Rt△ABC的斜边长为10，斜边上的高为4，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的解析式．
（2）如图2，点D的坐标为（4，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，求点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出A，B，C点的坐标再利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）①分别利用若ED=EB时，以及若ED=BD=4、若DB=EB=4时分别得出E点坐标即可；
②利用S_△CDP=S_{四边形CODP}-S_△COD=S_△COP+S_△ODP-S_△COD，进而求出二次函数最值以及P点坐标．

解答 解：（1）设OA的长为x，则OB=10-x；
∵OC=4，AB=10，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；
∴△AOC∽△COB，∴OC²=OA•OB
∴16=x（10-x），
解得：x₁=2，x₂=8，
∵OA＜OB，∴OA=2，OB=8；                      
∴点A、B、C的坐标分别是：A（-2，0），B（8，0），C（0，4）；
（注：直接用射影定理的，不扣分）
设经过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=ax²+bx+4，
将A、B、C三点的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}4a-2b+4=0\\ 64a+8b+4=0\\ c=4\end{array}\right.$，
解得：a=$-\frac{1}{4}$，b=$\frac{3}{2}$，c=4
所以这个二次函数的表达式为：$y=-\frac{1}{4}{x^2}+\frac{3}{2}x+4$，
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）；

（2）①如图1，

ⅰ若ED=EB，过E作EF⊥OB于F，
则△BEF∽△BCO，
则$\frac{EF}{CO}=\frac{BF}{BO}$，
故$EF=\frac{2×4}{8}=1$，
则E（6，1）；
ⅱ，如图2，若ED=BD=4，

∵OD=DB=ED=4，
∴△OEB为Rt△，OE⊥BC，
∵OC=4，OB=8，
在Rt△BOC中，BC=4$\sqrt{5}$，
在Rt△BOC中，OC×OB=BC×OE，
∴4×8=4$\sqrt{5}$×OE，
∴$OE=\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$，
在Rt△OEB中，$EB=\frac{{16\sqrt{5}}}{5}$，
∴EF×OB=OE×EB，
∴$EB=\frac{16}{5}$，
又∵$OF=\sqrt{O{E^2}-E{F^2}}=\frac{8}{5}$，
∴E$（\frac{8}{5}，\frac{16}{5}）$，
ⅲ如图3，过点E作EF⊥x轴于点F，

若DB=EB=4时，BC=4$\sqrt{5}$，
△BOC∽△BEF，
∴$\frac{EF}{CO}=\frac{EB}{BC}$，
∴$EF=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
∵$BF=\sqrt{B{E^2}-E{F^2}}=\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$，
∴$OF=8-\frac{{8\sqrt{5}}}{5}=\frac{{40-8\sqrt{5}}}{5}$，
∴E$（\frac{{40-8\sqrt{5}}}{5}，\frac{{4\sqrt{5}}}{5}）$；
②如图4，连接OP，

S_△CDP=S_{四边形CODP}-S_△COD=S_△COP+S_△ODP-S_△COD
=$\frac{1}{2}×4m+\frac{1}{2}×4n-\frac{1}{2}×4×4$，
=2m+2n-8，
=$-\frac{1}{2}{m^2}+5m$=$-\frac{1}{2}{（m-5）^2}+\frac{25}{2}$，
∴当x=5时，△CDP的面积最大．此时P点的坐标为（$5，\frac{21}{4}$），
S_△CDP的最大值是$\frac{25}{2}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及二次函数最值求法以及等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．