以点A为顶点的四边形OABC在平面直角坐标系中位置如图.现将四边形OABC沿直线AC折叠使点B落在点D处.AD交OC于E．(1)试求E点坐标及直线AE的解析式,(2)试求经过点O.D.C三点抛物线的解析式及顶点F的坐标,(3)一动点P从点A出发.沿射线AB以每秒一个单位长度的速度匀速运动．①当t为何值时.直线PE把△EAC分成面积之比为1:3的两部分,②在P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

18．

以点A（0，2），B（4，2），C（0，4）为顶点的四边形OABC在平面直角坐标系中位置如图，现将四边形OABC沿直线AC折叠使点B落在点D处，AD交OC于E．
（1）试求E点坐标及直线AE的解析式；
（2）试求经过点O、D、C三点抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒一个单位长度的速度匀速运动．
①当t为何值时，直线PE把△EAC分成面积之比为1：3的两部分；
②在P点的运动过程中，是否存在某一时刻使△APE为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）先根据AAS定理得出△AEO≌△CED，再根据勾股定理求出OE的长，进而得出E点坐标，再利用待定系数法求出直线AE的解析式即可；
（2）过D作DG⊥OC于G，可得出△CDE∽△DGE，根据相似三角形的性质求出CD两点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（3）①先求出直线AC的解析式为，设直线PE交AC于H，H（m，-$\frac{1}{2}$m+4），过H作HM⊥OA垂足为M，则△AMH∽△AOC，根据相似三角形的对应边成比例求出HM的长，进而可得出结论；
②分EP⊥AB与PE⊥AE两种情况进行讨论即可．

解答解：（1）∵四边形OABC为矩形，△ADC是由△ABC沿AC翻折而成，
且A（0，2），B（4，2），C（4，0），则DC=BC=OA=2，
∠D=∠AOE=90°，∠AEO=∠CED，
在△AEO与△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=CD}\\{∠AOE=∠CDE}\\{∠AEO=∠CED}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CED（AAS），
∴DE=OE，
设OE=x，则EC=4-x，
∴（4-x）²=x²+2²．
∴OE=$\frac{3}{2}$，
∴E点为（$\frac{3}{2}$，0）
设过A，E两点直线解析式为y=kx+b（k≠0），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+2；
（2）过D作DG⊥OC于G，故△CDE∽△DGE，
∵OE=$\frac{3}{2}$，
∴EC=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{DG}{CD}$，$\frac{DE}{EC}$=$\frac{EG}{DE}$，即DE=$\frac{3}{2}$，EG=$\frac{9}{10}$，
∴D（$\frac{12}{5}$，-$\frac{6}{5}$），
由于过点O、D、C的抛物线经过原点，则设y=ax²+bx，而C（4，0），D（$\frac{12}{5}$，-$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{\frac{144}{25}a+\frac{12}{5}b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{25}{64}}\\{b=-\frac{25}{16}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{25}{64}$x²-$\frac{25}{16}$x，
故经点F的坐标为F（4，-$\frac{25}{16}$）；
3）①易求直线AC的解析式为y_AC=-$\frac{1}{2}$x+2，设直线PE交AC于H，H（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
过H作HM⊥OA垂足为M，则△AMH∽△AOC，
∴$\frac{MH}{OC}$=$\frac{AH}{AC}$，
∴S_△EAH：S_△FHC=1：3或3：1，
∴$\frac{AH}{AC}$=1：3或3：1即$\frac{AH}{AC}$=$\frac{MH}{OC}$=1：4或3：4
∴HM=2或3，而m=2或3，
∴H₁（2，3），H₂（3，1），
∴直线EH₁的解析式为y=-$\frac{11}{4}$x+$\frac{17}{2}$，当y=4时，x=$\frac{18}{11}$
直线EH₂的解析式为y=$\frac{7}{4}$x-$\frac{19}{2}$，当y=4时，x=$\frac{54}{7}$
故当t=$\frac{18}{11}$秒或$\frac{54}{7}$秒，直线EP把△EAC分成面积之比为1：3两部分．
②当EP⊥AB时，
∵A（0，2），E（$\frac{3}{2}$，0）
当PE⊥AE时，
∵直线AE的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+2；
设直线PE的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+b，
∵E（$\frac{3}{2}$，0），
∴$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{2}$+b=0，解得b=-2，
∴直线PE的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-2，
∴当y=2时，x=3，
∴AP=3，即t=3（s）．
综上所述，当t=$\frac{18}{11}$秒或$\frac{54}{7}$秒或t=3秒时，直线EP把△EAC分成面积之比为1：3两部分．

点评本题考查的是一次函数综合题，涉及到利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、全等三角形及相似三角形的判定与性质，难度较大．

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