Question

如图，在函数y=

12

x

（x＞0）的图象上，有点P₁，P₂，P₃，…，P_n，P_n+1，若P₁的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前面一个点的横坐标的差都为2，过点P₁，P₂，P₃，…，P_n，P_n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S₁，S₂，S₃，…，S_n，则S₁=

 

，S₁+S₂+S₃+…+S_n=

 

．（用n的代数式表示）

Answer 1

分析：由已知得出，点P₁，P₂，P₃，…，P_n，P_n+1的横坐标分别为，2，4，6，…，2n，2（n+1），再由函数y=

12

x

，得各点的纵坐标分别为：

12

2

，

12

4

，

12

6

，…，

12

2n

，

12

2(n+1)

．由此通过观察求出S₁，且表示出S₂，S₃，…S_n．从而求出S₁+S₂+S₃+…+S_n．

解答：解：由已知图象得：
点P₁的坐横标a=2，代入y=

12

x

，得：
y=6，即点P₁的坐标为（2，6）
同理得点P₂的坐标为（4，3）
那么S₁=2×6-（4-2）×3=6．
观察图象及已知函数y=

12

x

，
所以点P_n的横坐标为2n，纵坐标为

12

2n

即

6

n

．
点P_n+1的坐标为的横坐标为2（n+1），纵坐标为

6

n+1

．
根据图象和得到的规律得：
S₁=2×

12

2

-2×

12

4

，S₂=2×

12

4

-2×

12

6

，S₃=2×

12

6

-2×

12

8

，S₄=2×

12

10

-2×

12

12

，…，S_n=2×

12

2n

-2×

12

2(n+1)

，
所以，S₁+S₂+S₃+…+S_n=2×

12

2

-2×

12

4

+2×

12

4

-2×

12

6

+2×

12

6

-2×

12

8

+…+2×

12

2n

-2×

12

2(n+1)

=2×

12

2

-2×

12

2(n+1)

=12-

12

n+1

=

12n

n+1

．
故答案分别为：6，

12n

n+1

．

点评：此题考查的知识点是反比例函数思想，解答此题的关键是由已知得出点P₁，P₂，P₃，…，P_n，P_n+1的横坐标，再由再由函数y=

12

x

，得出各点的纵坐标，再得出答案．