Question

【题目】如图，△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 上，且 BD=BC，CE= AC，BE、AD 相交于点 F，连接 DE， 则下列结论：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE2=DFDA；④AFBE=AEAC，正确的结论有（ ）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

本题是开放题，对结论进行一一论证，从而得到答案．

①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和， 即可证∠AFE=60°；②从 CD 上截取 CM=CE，连接 E M，证△CEM 是等边三角形，可证明 DE⊥AC；

③△BDF∽△ADB，由相似比则可得到CE2=DFDA；

④只要证明了△AFE∽△BAE，即可推断出 AFBE=AEAC．

解：∵△ABC 是等边三角形

∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°

∵BD=BC，CE=AC

∴BD=EC

∴△ABD≌△BCE

∴∠BAD=∠CBE，

∵∠ABE+∠EBD=60°

∴∠ABE+∠CBE=60°

∵∠AFE 是△ABF 的外角

∴∠AFE=60°

∴①是对的；

如图，从 CD 上截取 CM=CE，连接 EM，则△CEM 是等边三角形

∴EM=CM=EC

∵EC=CD

∴EM=CM=DM

∴∠CED=90°

∴DE⊥AC，

∴②是对的；

由前面的推断知△BDF∽△ADB

∴BD：AD=DF：DB

∴BD2=DFDA

∴CE2=DFDA

∴③是对的；

在△AFE 和△BAE 中，∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB 是公共角

∴△AFE∽△BAE

∴AFBE=AEAC∴④是正确的． 故选D．