Question

【题目】规定：不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”

（1）求抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的“亲近距离”；

（2）在探究问题：求抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“亲近距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交，则该问题的“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离，你同意他的看法吗？请说明理由．

（3）若抛物线y＝x2﹣2x+3与抛物线y＝+c的“亲近距离”为，求c的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）不同意他的看法，理由详见解析；（3）c＝1．

【解析】

(1)把y=x2﹣2x+3配成顶点式得到抛物线上的点到x轴的最短距离，然后根据题意解决问题；

(2)如图，P点为抛物线y=x2﹣2x+3任意一点，作PQ∥y轴交直线y=x﹣1于Q，设P(t，t2﹣2t+3)，则Q(t，t﹣1)，则PQ=t2﹣2t+3﹣(t﹣1)，然后利用二次函数的性质得到抛物线y=x2﹣2x+3与直线y=x﹣1的“亲近距离”，然后对他的看法进行判断；

(3)M点为抛物线y=x2﹣2x+3任意一点，作MN∥y轴交抛物线于N，设M(t，t2﹣2t+3)，则N(t，t2+c)，与(2)方法一样得到MN的最小值为﹣c，从而得到抛物线y=x2﹣2x+3与抛物线的“亲近距离”，所以，然后解方程即可．

(1)∵y=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2，

∴抛物线上的点到x轴的最短距离为2，

∴抛物线y=x2﹣2x+3与x轴的“亲近距离”为：2；

(2)不同意他的看法．理由如下：

如图，P点为抛物线y=x2﹣2x+3任意一点，作PQ∥y轴交直线y=x﹣1于Q，

设P(t，t2﹣2t+3)，则Q(t，t﹣1)，

∴PQ=t2﹣2t+3﹣(t﹣1)=t2﹣3t+4=(t﹣)2+，

当t=时，PQ有最小值，最小值为，

∴抛物线y=x2﹣2x+3与直线y=x﹣1的“亲近距离”为，

而过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交，抛物线顶点与交点之间的距离为2，

∴不同意他的看法；

(3)M点为抛物线y=x2﹣2x+3任意一点，作MN∥y轴交抛物线于N，

设M(t，t2﹣2t+3)，则N(t，t2+c)，

∴MN=t2﹣2t+3﹣(t2+c)=t2﹣2t+3﹣c=(t﹣)2+﹣c，

当t=时，MN有最小值，最小值为﹣c，

∴抛物线y=x2﹣2x+3与抛物线的“亲近距离”为﹣c，

∴，

∴c=1．