[题目]一个四边形被一条对角线分割成两个三角形.如果被分割的两个三角形相似.我们被称为该对角线为相似对角线． (1)如图1.正方形的边长为4.E为的中点..连结..求证:为四边形的相似对角线．(2)在四边形中....平分.且是四边形的相似对角线.求的长．(3)如图2.在矩形中...点E是线段(不取端点A.B)上的一个动点.点F是射线上的一个动点.若是四边形的相似� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线．

（1）如图1，正方形的边长为4，E为的中点，，连结.，求证：为四边形的相似对角线．

（2）在四边形中，，，，平分，且是四边形的相似对角线，求的长．

（3）如图2，在矩形中，，，点E是线段（不取端点A.B）上的一个动点，点F是射线上的一个动点，若是四边形的相似对角线，求的长．（直接写出答案）

【答案】（1）见解析（2）或；（3）或或3

【解析】

（1）根据已知中相似对角线的定义，只要证明△AEF∽△ECF即可；
（2）AC是四边形ABCD的相似对角线，分两种情形：△ACB△ACD或△ACB△ADC，分别求解即可；
（3）分三种情况①当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线．②取AD中点F，连接CF，将△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延长CD′交AB于E，则可得出 EF是四边形AECF的相似对角线．③取AB的中点E，连接CE，作EF⊥AD于F，延长CB交FE的延长线于M，则可证出EF是四边形AECF的相似对角线．此时BE=3；

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵E为的中点，，

∴AE=DE=2，

∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴∠AEF=∠DCE，

∵∠DCE+∠CED=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠FEC=∠A=90°，

∴△AEF∽△ECF，
∴EF为四边形AECF的相似对角线．

（2）∵平分，

∴∠BAC=∠DAC =60°

∵AC是四边形ABCD的相似对角线，
∴△ACB△ACD或△ACB△ADC
①如图2，当△ACB△ACD时，此时，△ACB≌△ACD

∴AB=AD=3，BC=CD，
∴AC垂直平分DB，
在Rt△AOB中，∵AB=3，∠ABO=30°，

②当△ACB△ADC时，如图3

∴∠ABC=∠ACD

∴AC2=ABAD，
∵,

∴6=3AD，
∴AD=2，
过点D作DHAB于H

在Rt△ADH中，∵∠HAD=60°，AD=2，

在Rt△BDH中，

综上所述，的长为：或

（3）①如图4，当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线，

设AE=EC=x，
在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，
∴x2=（6-x）2+42，
解得x=，
∴BE=AB-AE=6-=．
②如图5中，如图取AD中点F，连接CF，将△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延长CD′交AB于E，则 EF是四边形AECF的相似对角线．

∵△AEF∽△DFC，

∴

③如图6，取AB的中点E，连接CE，作EF⊥AD于F，延长CB交FE的延长线于M，则EF是四边形AECF的相似对角线．则 BE=3．

综上所述，满足条件的BE的值为或或3．

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