Question

1．4²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ为完全平方数，求n的值．1972或513或-947．

Answer 1

分析 通过提公因式，把原式整理成完全平方式的形式，从而推出n的值．

解答 解：因为4²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ=2⁵⁴（1+2•2¹⁹⁴⁵+2^2n-54），
所以当2n-54=2×1945，即n=1972时，上式为完全平方数，
因为4²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ=2⁵⁴（1+2¹⁹⁴⁶+2•2^2n-53），
所以当1946=2×（2n-53），即n=513时，上式为完全平方数，
因为4²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ=2⁵⁴（2¹⁹⁴⁶+2•2^-1+2^2n-54），
2⁹⁷³•2^n-27=2^-1，即n=-947时，上式为完全平方数，
故答案为1972或513或-947．

点评 此题主要考查了完全平方数，正确利用完全平方数的性质是解题关键．