Question

已知：如图，在?EFGH中，点F的坐标是（-2，-1），∠EFG=45°．
（1）求点H的坐标；
（2）抛物线C₁经过点E、G、H，现将C₁向左平移使之经过点F，得到抛物线C₂，求抛物线C₂的解析式；
（3）若抛物线C₂与y轴交于点A，点P在抛物线C₂的对称轴上运动．请问：是否存在以AG为腰的等腰三角形AGP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵在?ABCD中
∴EH=FG=2，G（0，-1）即OG=1
∵∠EFG=45°
∴在Rt△HOG中，∠EHG=45°
可得OH=1
∴H（1，0）

（2）∵OE=EH-OH=1
∴E（-1，0），
设抛物线C₁解析式为y₁=ax²+bx+c
∴代入E、G、H三点，
∴a=1，b=0，c=-1
∴y₁=x²-1
依题意得，点F为顶点，
∴过F点的抛物线C₂解析式是y₂=（x+2）²-1

（3）∵抛物线C₂与y轴交于点A
∴A（0，3），∴AG=4
情况1：AP=AG=4
过点A作AB⊥对称轴于B
∴AB=2
在Rt△PAB中，BP=
∴P₁（-2，3+）或P₂（-2，3-）
情况2：PG=AG=4
同理可得：P₃（-2，-1+）或P₄（-2，-1-）
∴P点坐标为（-2，3+）
或（-2，3-）或（-2，-1+）或（-2，-1-）．
分析：（1）因为四边形EFGH是平行四边形，点F的坐标是（-2，-1），∠EFG=45°，所以可得点H的坐标；
（2）设抛物线C₁解析式为y₁=ax²+bx+c，把E、G、H三点的坐标分别代入抛物线C₁解析式，题意得，点F为顶点，所以可求出抛物线C₂的解析式；
（3）先求出AG=4，再分情况对问题进行讨论，情况1：AP=AG=4；情况2：PG=AG=4，可求出点P的坐标．
点评：主要考查了点的坐标、直线解析式、抛物线解析式的求法，涉及解直角三角形的知识和平行四边形的性质的运用，以及分类讨论的数学思想．