Question

已知二次函数y=ax²+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．

（1）求此二次函数解析式；

（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），

∴根据题意，得，

解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x²+2x+3．

（2）由y=﹣x²+2x+3得，D点坐标为（1，4），

∴CD==，

BC==3，

BD==2，

∵CD²+BC²=（）²+（3）²=20，BD²=（2）²=20，

∴CD²+BC²=BD²，

∴△BCD是直角三角形；

（3）存在．CD²+BC²=（）²+（3）²=20，BD²=（2）²=

y=﹣x²+2x+3对称轴为直线x=1．

①若以CD为底边，则PD=PC，

设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，

得x²+（3﹣y）²=（x﹣1）²+（4﹣y）²，

即y=4﹣x．

又P点（x，y）在抛物线上，

∴4﹣x=﹣x²+2x+3，

即x²﹣3x+1=0，

解得x₁=，x₂=＜1，应舍去，

∴x=，

∴y=4﹣x=，

即点P坐标为（，）．

②若以CD为一腰，

∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，

此时点P坐标为（2，3）．

∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．