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    4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点M，N从但C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）
    （1）AM=4-t；AP=5-2t（请分别用含t的代数式表示）
    （2）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
    （3）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值；若存在，求S的最小值，若不存在，请说明理由．

    分析 （1）先根据勾股定理求出AB的长，再由线段的和差即可得到结果；
    （2）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；
    （3）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC-S△BPH”列出S与t的关系式S=$\frac{4}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{21}{5}$（0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．

    解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
    ∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
    ∴AM=AC-CM=4-t，AP=AB-PB=5-2t．
    故答案为：4-t，5-2t；

    （2）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
    ①当△AMP∽△ABC时，$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AM}{AB}$，即$\frac{5-2t}{4}$=$\frac{4-t}{5}$，
    解得t=$\frac{3}{2}$；
    ②当△APM∽△ABC时，$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{4-t}{4}$=$\frac{5-2t}{5}$，
    解得t=0（不合题意，舍去）；
    综上所述，当t=$\frac{3}{2}$时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；

    （3）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
    假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
    如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，
    ∴$\frac{PH}{AC}$=$\frac{PB}{AB}$，即$\frac{PH}{4}$=$\frac{2t}{5}$，
    ∴PH=$\frac{8}{5}$t，
    ∴S=S△ABC-S△BPN，
    =$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×（3-t）•$\frac{8}{5}$t，
    =$\frac{4}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{21}{5}$（0＜t＜2.5）．
    ∵$\frac{4}{5}$＞0，
    ∴S有最小值．
    当t=$\frac{3}{2}$时，S最小值=$\frac{21}{5}$．
    答：当t=$\frac{3}{2}$时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是$\frac{21}{5}$．

    点评 本题综合考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边．

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    （1）∠PBD的度数为45°，点D的坐标为（t，t）（用t表示）；
    （2）求证：PE=AP+CE；
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