【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm.动点P、Q分别从点A、C以2cm/s的速度同时出发.动点P沿AB向终点B运动,动点Q沿CD向终点D运动,连结PQ交对角线AC于点O.设点P的运动时间为t(s).
(1)求OC的长.
(2)当四边形APQD是矩形时,直接写出t的值.
(3)当四边形APCQ是菱形时,求t的值.
(4)当△APO是等腰三角形时,直接写出t的值.
【答案】(1)5;(2)t=2;(3);(4)或或
【解析】
(1)根据矩形的性质以及勾股定理判定≌,即可得解;
(2)根据题意判定当四边形APQD是矩形时,P、Q分别为AB、CD的中点,即可得解;
(3)根据菱形的性质以及勾股定理的运用,构建一元二次方程,即可得解;
(4)分情况:当AO=OP时,当AO=AP时,当AP=OP时,求解即可.
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴.
∴,.
在Rt△ABC中,∠B=90°,
由勾股定理,得.
∵,
∴≌.
∴.
(2)当四边形APQD是矩形时,P、Q分别为AB、CD的中点
即=4
t=2.
(3)如图,当四边形APCQ是菱形时,AP=CP=2t.
∴PB=8-2t.
在Rt△BCP中,∠B=90°,
由勾股定理,得.
∴.
解得.
当时,四边形APCQ是菱形.
(4)当AO=OP时,如图所示:
∵AO=5
∴P运动到点B
∴;
当AO=AP时,
∵AO=AP=5
∴;
当AP=OP时,
由(2),得OH=3,AH=4
∴PH=4-2t,OP=2t
∴,即
∴
综上所述,或或.
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【题目】已知,△ABC(如图).
(1)利用尺规按下列要求作图(保留作图痕迹,不写作法):
①作∠BAC的平分线AD,交BC于点D;
②作AB边的垂直平分线EF,分别交AD,AB于点E,F.
(2)连接BE,若∠ABC=60°,∠C=40°,求∠AEB的度数.
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【题目】在ABCD中,对角线AC、BD相交于O,EF过点O,且AF⊥BC.
(1)求证:△BFO≌△DEO;
(2)若EF平分∠AEC,试判断四边形AFCE的形状,并证明.
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【题目】阅读下面材料并解决问题
我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小而解决问题的策略般要进行一定的转化,其中“求差法”就是常用的方法之一,所谓“求差法”:就是通过求差、变形,并利用差的符号来确定它们的大小,即要比较代数式的大小,只要求出它们的差,若,则;若,则.若,则,
请你用“求差法”解决以下问题
(1)若P=m2-2m-3,Q=m2-2m-1,比较的大小关系;
(2)制作某产品有两种用料方案方案一:用3块型钢板,用7块型钢板;方案二:用2块型钢板,用8块型钢板;型钢板的面积比型钢板的面积大,设每块型钢板的面积为,每块B型钢板的面积为,从省料角度考虑,应选哪种方案?
(3)试比较图1和图2中两个矩形周长、的大小.
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【题目】某中学计划购买型和型课桌凳共套,经招标,购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用元,且购买套型和套型课桌凳共需元.
(1)求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元?
(2)学校根据实际情况,要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过元,并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的,求该校本次购买型和型课桌凳共有几种购买方案?怎样的方案使总费用最低?并求出最低消费.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BD=DF.
(1)求证:CF=EB;
(2)试判断AB与AF,EB之间存在的数量关系,并说明理由.
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【题目】某学校组织了“热爱宪法,捍卫宪法”的知识竞赛,赛后发现所有学生的成绩(总分100分)均不低于50分,为了解本次竞赛的成绩分布情况,随机抽取若干名学生的成绩作为样本进行整理,并绘制了不完整的统计图表,请你根据统计图表解答下列问题.
学校若干名学生成绩分布统计表
分数段(成绩为x分) | 频数 | 频率 |
50≤x<60 | 16 | 0.08 |
60≤x<70 | a | 0.31 |
70≤x<80 | 72 | 0.36 |
80≤x<90 | c | d |
90≤x≤100 | 12 | b |
(1)此次抽样调查的样本容量是 ;
(2)写出表中的a= ,b= ,c= ;
(3)补全学生成绩分布直方图;
(4)比赛按照分数由高到低共设置一、二、三等奖,若有25%的参赛学生能获得一等奖,则一等奖的分数线是多少?
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【题目】海中有一个小岛P,它的周围18海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点A测得小岛P在北偏东60°方向上,航行12海里到达B点,这时测得小岛P在北偏东45°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险?请说明理由.
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