Question

已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2

3

，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．
（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，求点M到OC的最大距离．
（3）抛物线上是否存在一点P，使角OAP=∠BOA？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据折叠的性质可得OC=OA，∠BOC=∠BAO=30°，过点C作CD⊥OA于D，求出OD、CD，然后写出点C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）求出直线OC的解析式，根据点M到OC的最大距离时，平行于OC的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式求出m的值，利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）分两种情况求出直线AP与y轴的交点坐标，然后求出直线AP的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）∵Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴OC=OA=2

3

，∠BOC=∠BAO=30°，
∴∠AOC=30°+30°=60°，
过点C作CD⊥OA于D，
则OD=

1

2

×2

3

=

3

，
CD=2

3

×

3

2

=3，
所以，顶点C的坐标为（

3

，3），
设过点O，C，A抛物线的解析式为为y=ax²+bx，
则

( 3 )2a+ 3 b=3 (2 3 )2a+2 3 b=0

，
解得

a=-1 b=2 3

．
所以抛物线的解析式为y=-x²+2

3

x；

（2）∵C（

3

，3），
∴直线OC的解析式为y=

3

x，
设点M到OC的最大距离时，平行于OC的直线解析式为y=

3

x+m，
联立

y= 3 x+m y=-x2+2 3 x

，
消掉未知数y并整理得，x²-

3

x+m=0，
△=（-

3

）²-4m=0，
解得m=

3

4

．
所以点M到OC的最大距离=

3

4

×

1

2

=

3

8

；

（3）∵∠OAP=∠BOA=30°，
∴2

3

×

3

3

=2，
∴直线AP与y轴的交点坐标为（0，2）或（0，-2），
当直线AP经过点（2

3

，0）、（0，2）时，解析式为y=-

3

3

x+2，
联立

y=-x2+2 3 x y=- 3 3 x+2

，
解得

x1=2 3 y1=0

，

x2= 3 3 y2= 5 3

．
所以点P的坐标为（

3

3

，

5

3

），
当直线AP经过点（2

3

，0）、（0，-2）时，解析式为y=

3

3

x-2，
联立

y=-x2+2 3 x y= 3 3 x-2

，
解得

x1=2 3 y1=0

，

x2=- 3 3 y2=- 7 3

．
所以点P的坐标为（-

3

3

，-

7

3

）．
综上所述，存在一点P（

3

3

，

5

3

）或（-

3

3

，-

7

3

），使∠OAP=∠BOA．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了折叠的性质，待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点的方法，（2）判断出点M到OC的距离最大是，平行于OC的直线与抛物线只有一个交点是解题的关键，（3）确定出直线AP的解析式是解题的关键．