Question

20．如图，已知DB，DC分别是△ABC的外角∠EBC和∠FCB的角平分线．
（1）若∠ABC=46°，∠ACB=66°，求∠D的度数；
（2）若∠A=80°，求∠D的度数；
（3）∠D和∠A有什么关系？为什么？

Answer 1

分析 （1）直接利用角平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案；
（2）直接利用角平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案；
（3）直接利用角平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案．

解答 解：（1）∵∠ABC=46°，∠ACB=66°，
∴∠A=68°，
∵DB，DC分别是△ABC的外角∠EBC和∠FCB的角平分线，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）=67°，∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=57°，
∴∠D=180°-∠CBD-∠BCD=180°-67°-57°=56°；

（2）∵BD、CD分别是△ABC两个外角∠CBE和∠BCF的平分线，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∴∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD=180°-∠A-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∴∠D与∠A的关系是：∠D=180°-∠A-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠A=50°，

（3）∠D=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
理由：∵BD、CD分别是△ABC两个外角∠CBE和∠BCF的平分线，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∴∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD=180°-∠A-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∴∠D与∠A的关系是：∠D=180°-∠A-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
即∠D=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 此题主要考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，正确应用角平分线的性质是解题关键．