Question

10．已知二次函数图象经过A（-3，-2），B（-1，-2），C（0，1）三点，
（1）求该函数解析式；
（2）已知P是该二次函数图象的顶点，求sin∠ACP的值．

Answer 1

分析 （1）将各点代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求得．
（2）作AF⊥y轴于F，交PC于D，作DE⊥AC于E，利用待定系数法求得直线PC的解析式，进而求得D的坐标，求得△ADC的面积，根据三角形面积公式求得DE，根据勾股定理求得DC，即可求得sin∠ACP的值．

解答 解：（1）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
∵二次函数图象经过A（-3，-2），B（-1，-2），C（0，1）三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=-2}\\{a-b+c=-2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴这个二次函数的解析式为：y=x²+4x+1．
（2）如图，作AF⊥y轴于F，交PC于D，作DE⊥AC于E，
由y=x²+4x+1=（x+2）²-3，可知P（-2，-3），
∵A（-3，-2），C（0，1），
∴AC=$\sqrt{（-3-0）^{2}+（-2-1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
设直线PC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=-3}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线PC的解析式为y=2x+1，
把y=-2代入得，x=-$\frac{3}{2}$，
∴D（-$\frac{3}{2}$，-2），
∴DF=$\frac{3}{2}$，
∵AF=3，
∴AD=DF，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△AFC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3×（2+1）=$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$AC•DE=$\frac{9}{4}$，
∴3$\sqrt{2}$DE=$\frac{9}{2}$，
∴DE=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∵DC=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴sin∠ACP=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，三角形的面积，勾股定理，锐角三角函数的定义，综合性较强，难度适中．