Question

【题目】探索与发现

探索：如图，在直角坐标系中，正方形ABCO的点B坐标（4，4），点A、C分别在y轴、x轴上，对角线AC上一动点E，连接BE，过E作DE⊥BE交OC于点D．

（1）证明：BE＝DE．

小明给出的思路为：过E作y轴的平行线交AB、x轴于点F、H．请完善小明的证明过程．

（2）若点D坐标为（3，0），则点E坐标为　 　．

若点D坐标为（a，0），则点E坐标为　 　．

发现：在直角坐标系中，点B坐标（5，3），点D坐标（3，0），找一点E，使得△BDE为等腰直角三角形，直接写出点E坐标．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）点D坐标为（1.5，2.5）；（0.5a，4﹣0.5a）；点E坐标为（0，2）或（2，5）或（6，﹣2）或（8，1）或（2.5，2.5）或（5.5，0.5）．

【解析】

（1）证出EH=BF，由ASA证明△BEF≌△EDH，得出BE=DE即可；
（2）连接OE，由正方形的对称性质得：OE=BE，证出OE=DE，由等腰三角形的性质得出OH=DH=OD=1.5，由全等三角形的性质得出EF=DH=1.5，求出FH=OA=4，得出EH=2.5，得出点E的坐标为（1.5，2.5）；若点D坐标为（a，0），同理可得则点E坐标为（1.5a，2.5a）．
发现：分两种情况：

①当BD为等腰直角三角形的直角边长时，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出点E的坐标为（0，2）或（2，5）或（6，-2）或（8，1）；
②当BD为等腰直角三角形的斜边长时，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质点E的坐标为（2.5，2.5）或（5.5，0.5）；即可得出结论．

（1）证明：∵四边形ABCO是正方形，

∴AB∥OC，∠OAB＝∠AOC＝90°，∠OAC＝∠BAC＝∠OCA＝45°，OA∥BC，

∵FH∥AB，

∴FH∥OA，

∴FH⊥OC，∠HEC＝∠OAC＝45°＝∠OCA，∠BFH＝∠OAB＝90°，∠DHE＝∠AOC＝90°，

∴EH＝CH＝BF，

∵DE⊥BE，FH⊥AB，

∴由角的互余关系得：∠EBF＝∠DEH，

在△BEF和△EDH中，，

∴△BEF≌△EDH（ASA），

∴BE＝DE；

（2）解：连接OE，如图1所示：

∵点D坐标为（3，0），

∴OD＝3，

由正方形的对称性质得：OE＝BE，

∵BE＝DE，

∴OE＝DE，

∵FH⊥OC，

∴OH＝DH＝OD＝1.5，

∵△BEF≌△EDH，

∴EF＝DH＝1.5，

∵FH＝OA＝4，

∴EH＝4﹣1.5＝2.5，

∴点E的坐标为（1.5，2.5）；

若点D坐标为（a，0），同理可得，点E坐标为（0.5a，4﹣0.5a）；

故答案为：（1.5，2.5）；（0.5a，4﹣0.5a）．

发现：分两种情况：

①当BD为等腰直角三角形的直角边长时，

点E的坐标为（0，2）或（2，5）或（6，﹣2）或（8，1）；

②当BD为等腰直角三角形的斜边长时，

点E的坐标为（2.5，2.5）或（5.5，0.5）；

综上所述：△BDE为等腰直角三角形，点E坐标为（0，2）或（2，5）或（6，﹣2）或（8，1）或（2.5，2.5）或（5.5，0.5）．